Question

на покоящееся тело массой 5 кг начало действовать сила, величина которой убывает со временем по линейному закону до нуля, какую скорость приобретет тело?

Answer 1

Так как величину силы мы не знаем, обозначим её начальное значение как F0, а её зависимость от времени как F(t) = F0 - k*t. Помним, что ускорение определяется как отношение силы и массы тела: a = F/m = (F0 - kt)/m. Скорость же, в общем случае, это интеграл ускорения(обозначу знак интеграла как S): V(t) = Sa(t)dt = S (F0 -kt)/m dt = F0t/m - kt^2/m

Answer 2

Для решения этой задачи, нужно использовать законы движения, в частности, второй закон Ньютона. Второй закон Ньютона гласит, что ускорение тела пропорционально силе, действующей на него, и обратно пропорционально его массе. Формула для второго закона Ньютона:

$F = m \cdot a$

где $F$ - сила, действующая на тело, $m$ - масса тела, $a$ - ускорение тела.

Так как сила убывает со временем по линейному закону до нуля, можно представить её зависимость от времени $t$ в следующем виде:

$F(t) = F_0 - kt$

где $F_0$ - начальная сила, $k$ - коэффициент пропорциональности (скорость убывания силы), $t$ - время.

Находясь на покое, скорость тела $v$ равна нулю в начальный момент времени ($t=0$).

Мы знаем, что ускорение $a$ связано со скоростью $v$ следующим соотношением:

$a = \frac{{dv}}{{dt}}$

Соответственно, мы можем выразить ускорение $a$ через силу $F$ и массу $m$:

$a = \frac{F}{m}$

Теперь, чтобы решить задачу, найдем ускорение в момент времени $t$, используя выражение для силы $F(t)$:

$a(t) = \frac{{F(t)}}{m} = \frac{{F_0 - kt}}{m}$

Затем, используем определение ускорения для нахождения скорости $v(t)$ в момент времени $t$:

$v(t) = \int a(t) \, dt = \int \frac{{F_0 - kt}}{m} \, dt$

$v(t) = \frac{F_0}{m}t - \frac{k}{2m}t^2 + C$

где $C$ - константа интегрирования.

Теперь, чтобы найти $C$, используем начальное условие, что скорость $v$ равна нулю при $t=0$:

$v(0) = 0$

$C = 0$

Таким образом, уравнение для скорости $v(t)$ будет:

$v(t) = \frac{F_0}{m}t - \frac{k}{2m}t^2$

Когда сила $F(t)$ достигает нуля (т.е. $F(t) = 0$), это происходит в некоторый момент времени $t_f$. В этот момент скорость тела $v(t_f)$ будет максимальной.

$F(t_f) = 0 = F_0 - k \cdot t_f$

$t_f = \frac{F_0}{k}$

Теперь, чтобы найти максимальную скорость $v_{\text{макс}}$ в момент времени $t_f$, подставим $t = t_f$ в уравнение для $v(t)$:

$v_{\text{макс}} = \frac{F_0}{m} \cdot \frac{F_0}{k} - \frac{k}{2m} \cdot \left(\frac{F_0}{k}\right)^2$

$v_{\text{макс}} = \frac{F_0^2}{mk} - \frac{F_0^2}{2mk}$