Question

Сравните моменты инерции трех тел одинаковой формы и размеров, если одно тело изготовлено из алюминия, другое - из железа, а третье - из свинца.

Answer 1

Момент инерции - кг/м2. Выходит линейно зависит от плотности материала. У кого плотность выше - у того и момент инерции больше.

Answer 2

Момент инерции тела зависит от его массы, формы и распределения массы относительно оси вращения. Поскольку три тела, о которых вы спрашиваете, имеют одинаковую форму и размеры, их массы будут отличаться в зависимости от плотности материала, из которого они изготовлены.

Момент инерции тела относительно оси вращения определяется следующим выражением:

$I = \frac{1}{2} m r^2$

где $I$ - момент инерции, $m$ - масса тела, $r$ - расстояние от оси вращения до точки массы.

Поскольку у нас одинаковая форма и размеры тел, $r$ будет одинаковым для всех трех тел. Тогда можно сравнить моменты инерции, используя пропорцию масс и плотностей материалов.

Пусть $m_{\text{алюминий}}$, $m_{\text{железо}}$ и $m_{\text{свинец}}$ - массы тел из алюминия, железа и свинца соответственно.

Пусть $\rho_{\text{алюминий}}$, $\rho_{\text{железо}}$ и $\rho_{\text{свинец}}$ - плотности алюминия, железа и свинца соответственно.

Тогда масса тела связана с его плотностью и объемом следующим образом:

$m = \rho \cdot V$

Где $V$ - объем тела, который одинаков для всех трех тел с одинаковой формой и размерами.

Поскольку все тела имеют одинаковую форму и размеры, плотность можно сократить:

$\frac{m_{\text{алюминий}}}{m_{\text{железо}}} = \frac{\rho_{\text{алюминий}}}{\rho_{\text{железо}}}$ $\frac{m_{\text{алюминий}}}{m_{\text{свинец}}} = \frac{\rho_{\text{алюминий}}}{\rho_{\text{свинец}}}$

Теперь мы можем сравнить моменты инерции:

$\frac{I_{\text{алюминий}}}{I_{\text{железо}}} = \frac{\frac{1}{2} m_{\text{алюминий}} r^2}{\frac{1}{2} m_{\text{железо}} r^2} = \frac{m_{\text{алюминий}}}{m_{\text{железо}}} = \frac{\rho_{\text{алюминий}}}{\rho_{\text{железо}}}$

$\frac{I_{\text{алюминий}}}{I_{\text{свинец}}} = \frac{\frac{1}{2} m_{\text{алюминий}} r^2}{\frac{1}{2} m_{\text{свинец}} r^2} = \frac{m_{\text{алюминий}}}{m_{\text{свинец}}} = \frac{\rho_{\text{алюминий}}}{\rho_{\text{свинец}}}$

Таким образом, моменты инерции тел из алюминия, железа и свинца будут пропорциональны соответствующим плотностям материалов. Если плотность свинца больше, чем у алюминия и железа, то и момент инерции тела из свинца будет больше. Если же плотность алюминия и железа больше, чем у свинца, то и их моменты инерции будут больше.