Question

за одинаковое время маятник с разностью длин 0,48 м совершили 5 колебаний - один и 3 колебания другой. Определите длины маятников.

Answer 1

Пусть наименьшая длина равна L

Тогда наибольшая равна L+0,48

Пусть время равно t

Тогда маятник с наименьшей длиной совершит 5 колебаний, а маятник с наибольшей 3 колебания

t = 5·√ (L/g) - для маятника с наименьшей длиной

t = 3·√ ( (L+0,48) / g ) - для маятника с наибольшей длиной

Возведем в квадрат правые части и приравняем их, одновременно сократив g:

25·L = 9·(L+0,48)

Решим это уравнение:

25·L = 9·L+4,32

16·L = 4,32

L = 4,32/16 = 0,27 м - длина первого маятника

0,27+0,48 = 0,75 м - длина второго маятника.

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте обозначим длины маятников через L1 и L2 (где L1 > L2). Также известно, что разность их длин составляет 0,48 м.

Мы знаем, что время, которое требуется маятнику, чтобы совершить одно полное колебание (период колебаний), зависит только от длины маятника и ускорения свободного падения (9,8 м/с^2 на Земле).

По формуле периода колебаний T: T = 2π * sqrt(L / g)

Где: L - длина маятника g - ускорение свободного падения

Теперь у нас есть два уравнения для маятников:

1. T1 = 2π * sqrt(L1 / g)
2. T2 = 2π * sqrt(L2 / g)

Мы знаем, что разность времен для маятников равна времени, за которое один маятник совершил 5 колебаний, минус время, за которое другой маятник совершил 3 колебания:

T1 - T2 = 5T - 3T = 2T, где T - время одного колебания маятника.

Теперь давайте решим уравнение для разности периодов:

2π * sqrt(L1 / g) - 2π * sqrt(L2 / g) = 2T

2π * sqrt(L1 / g) - 2π * sqrt(L2 / g) = 2 * (2π * sqrt(L1 / g)) (так как T = 2π * sqrt(L1 / g))

sqrt(L1) - sqrt(L2) = 2 * sqrt(L1)

sqrt(L1) = 2 * sqrt(L1) + sqrt(L2)

Теперь возведем обе стороны уравнения в квадрат:

L1 = (2 * sqrt(L1) + sqrt(L2))^2

L1 = 4L1 + 4sqrt(L1 * L2) + L2

Теперь давайте рассмотрим второе уравнение, которое связывает разность длин маятников с 0,48 м:

L1 - L2 = 0,48 м

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. L1 = 4L1 + 4sqrt(L1 * L2) + L2
2. L1 - L2 = 0,48 м

Решим эту систему. Выразим L2 из второго уравнения:

L2 = L1 - 0,48 м

Теперь подставим это значение в первое уравнение:

L1 = 4L1 + 4sqrt(L1 * (L1 - 0,48 м)) + (L1 - 0,48 м)

Раскроем скобки:

L1 = 4L1 + 4sqrt(L1^2 - 0,48 м * L1) + L1 - 0,48 м

Перенесем все L1 на одну сторону:

0 = 4sqrt(L1^2 - 0,48 м * L1)

Теперь разделим обе стороны на 4:

sqrt(L1^2 - 0,48 м * L1) = 0

Так как длины маятников не могут быть отрицательными, то их квадраты также не могут быть отрицательными. Таким образом, у нас остается только одно возможное решение:

L1^2 - 0,48 м * L1 = 0

Теперь решим квадратное уравнение:

L1^2 - 0,48 м * L1 = 0

L1(L1 - 0,48 м) = 0

Из этого уравнения получаем два возможных значения для L1:

1. L1 = 0
2. L1 = 0,48 м

Так как длина маятника не может быть нулевой, то единственным допустимым решением является:

L1 = 0,48 м

Теперь используем второе уравнение для нахождения L2:

L2 = L1 - 0,48 м L2 = 0,48 м - 0,48 м L2 = 0 м

Таким образом, длины маятников равны: L1 = 0,48 м L2 = 0 м