Question

Вывести формулу для напряженности поля шара радиуса R объемная плотность заряда которого линейно возрастает от центра поверхности (p=Аt)

Answer 1

Сначала рассмотрим область пространства вне шара: R ≤ r ≤ ∞, где r − расстояние от центра шара до выбранной точки пространства.

 В этой области заряженный шар создает точно такое же электрическое поле, как и точечный заряд, помещенный в центр шара. Поэтому напряженность поля на расстоянии r от шара равна

 Приращение потенциала для данного случая можно записать так:

где dr − малое изменение расстояния r. Просуммируем обе части данного уравнения:

После интегрирования получим

Для определения константы С1 используем граничное условие: при r → ∞ φ → 0. Отсюда следует, что С1 = 0, следовательно, распределение потенциала в области R ≤ r ≤ ∞ имеет вид

 Теперь рассмотрим область пространства внутри шара: 0 ≤ r ≤ R. В этом случае напряженность электрического поля определяется только зарядом внутри шара радиусом r и равна

Тогда

Для определения константы С2 воспользуемся граничным условием: при

это значение потенциала находится из полученного выше распределения. Отсюда получим, что

Окончательное выражение для распределения потенциала в области 0 ≤ r ≤ R имеет вид

 График зависимости φ(r) при 0 ≤ r ≤ ∞ изображен на рисунке.

Answer 2

Для нахождения формулы для напряженности электрического поля шара с радиусом R, у которого объемная плотность заряда линейно возрастает от центра поверхности (p = Аt), мы можем воспользоваться теоремой Гаусса.

Теорема Гаусса для электростатики утверждает, что поток электрического поля через замкнутую поверхность равен сумме зарядов внутри этой поверхности, деленной на электрическую постоянную (ε₀). Математически это можно записать следующим образом:

∮ E * dA = (1/ε₀) * ∫ρ * dV,

где:

• E - вектор напряженности электрического поля,
• dA - элемент поверхности,
• ∮ - интеграл по замкнутой поверхности,
• ρ - объемная плотность заряда,
• dV - элемент объема,
• ∫ - интеграл по всему объему.

Учитывая линейную зависимость плотности заряда от расстояния (ρ = Аt), мы можем выразить z-компоненту напряженности электрического поля в виде:

Ez = (A/ε₀) * ∫t * dV,

где t - расстояние от центра шара до рассматриваемого объема.

Для шаровой симметрии интеграл можно переписать в сферических координатах (r, θ, φ) как:

∫t * dV = ∫r² * sin(θ) * dr * dθ * dφ,

где r - радиальное расстояние, θ - полярный угол, φ - азимутальный угол.

Таким образом, напряженность поля Ez будет равна:

Ez = (A/ε₀) * ∫r² * sin(θ) * dr * dθ * dφ.

Чтобы найти полную напряженность поля E, нам также нужно учесть, что она будет одинаковой по всем направлениям, так как у нас сферическая симметрия. Поэтому:

E = (A/ε₀) * ∫r² * dr * dθ * dφ,

где интегрирование будет происходить по соответствующим пределам.

Окончательная формула для напряженности электрического поля внутри шара с линейно возрастающей объемной плотностью заряда будет зависеть от конкретных пределов интегрирования и может быть получена, решив этот интеграл.