Question

По металической нитке диаметром d и длиной L течёт ток. Определить зависимость температуры нити от времени после отключения тока , если до отключения она имела температуру T1? Рассмотреть затраты энергии только в виде излучения. Поглощающая способность нити -a , теплоёмкость С.

Answer 1

ВОТ ОТВЕТ(это мой любимый предмет).

Answer 2

Для определения зависимости температуры металлической нити от времени после отключения тока, учитывая только излучение, можно использовать законы теплопередачи и теплового излучения.

При прохождении тока через металлическую нить она нагревается из-за эффекта Джоуля (внутреннее сопротивление нити преобразует электрическую энергию в тепло). После отключения тока нить начинает охлаждаться, испуская тепловое излучение. Мы хотим найти зависимость её температуры от времени после отключения тока.

Для начала определим уравнение, описывающее потерю тепла нити через излучение. Для этого воспользуемся законом Стефана-Больцмана, который гласит, что мощность излучения тела пропорциональна четвёртой степени его абсолютной температуры (в кельвинах):

$P = \sigma \cdot A \cdot \varepsilon \cdot T^4,$

где: $P$ - мощность излучения (в Вт), $\sigma$ - постоянная Стефана-Больцмана ($\sigma \approx 5.67 \times 10^{-8} \, \text{Вт/(м}^2\text{К}^4)$), $A$ - площадь поверхности нити (в $\text{м}^2$), $\varepsilon$ - эмиссивность поверхности нити (эмиссивность действительного тела лежит в интервале от 0 до 1), $T$ - абсолютная температура нити (в К).

Теперь можем записать уравнение для изменения температуры нити с течением времени:

$\frac{dQ}{dt} = -P,$

где $\frac{dQ}{dt}$ - изменение тепловой энергии нити с течением времени (в Вт), $P$ - мощность излучения (в Вт).

Для определения $\frac{dQ}{dt}$ учтём, что мощность излучения $P$ равна затратам энергии на излучение в единицу времени:

$\frac{dQ}{dt} = \varepsilon \cdot \sigma \cdot A \cdot (T^4 - T_{\text{окр}}^4),$

где $T_{\text{окр}}$ - температура окружающей среды (в К).

Теперь приведём уравнение к виду, содержащему только $T$ и $dt$:

$\frac{dQ}{dT} \cdot \frac{dT}{dt} = \varepsilon \cdot \sigma \cdot A \cdot (T^4 - T_{\text{окр}}^4),$

$dQ = \varepsilon \cdot \sigma \cdot A \cdot (T^4 - T_{\text{окр}}^4) \cdot dt.$

Интегрируем это уравнение от начального момента времени $t = 0$ до времени $t$ и от начальной температуры $T_1$ до температуры $T$:

$\int_{Q=0}^{Q} dQ = \int_{T_1}^{T} \varepsilon \cdot \sigma \cdot A \cdot (T^4 - T_{\text{окр}}^4) \cdot dt,$

$Q - 0 = \varepsilon \cdot \sigma \cdot A \cdot \int_{T_1}^{T} (T^4 - T_{\text{окр}}^4) \cdot dt,$

$Q = \varepsilon \cdot \sigma \cdot A \cdot \left[\frac{T^5}{5} - \frac{T_{\text{окр}}^5}{5}\right].$

Теперь у нас есть уравнение, связывающее изменение тепловой энергии нити с изменением её температуры. Мы можем переписать $Q$ через теплоёмкость $C$ нити и температуру:

$Q = C \cdot (T - T_1).$

Сравнивая два последних уравнения для $Q$, получим:

$C \cdot (T - T_1) = \varepsilon \cdot \sigma \cdot A \cdot \left[\frac{T^5}{5} - \frac{T_{\text{окр}}^5}{5}\right].$

Теперь можно выразить зависимость температуры