Question

Протон движется в однородном магнитном поле с индукцией B= 0.2 тл по винтовой линии. Определить скорость протона, если радиус винтовой линии R= 2см, а шаг h=50 см.

Answer 1

Дано:

B = 0,2 Тл

R = 2 см = 0,02 м

h = 50 см = 0,50 м

e = 1,6*10⁻⁹ Кл - заряд протона

m = 1,67*10⁻²⁷ кг - масса протона

____________

V - ?

Сила Лоренца:

F = e*V*B*sin α -  где α - угол между векторами  V и B.

Электрон одновременно участвует в двух движениях - перпендикулярно силовым линиям магнитного поля со скоростью Vz и вдоль силовых линий поля со скоростью Vx.

Vz = V*sin α

Vx = V*cos α

Но сила Лоренца является и центростремительной силой:

e*Vz*B = m*Vz²/R.

e*B = m*Vz/R.

Vz = e*B*R / m

Vz = 1,6*10⁻¹⁹*0,2*0,02/(1,67*10⁻²⁷) = 3,83*10⁵ м/с

Шаг:

h = 2π*R*ctg  α

ctg α = h / (2π*R) = 0,50 / (2*3,14*0,02) ≈  3,98

α = 14°

sin α = sin 14° = 0,2419

cos α = cos 14° = 0,9703

V = Vz / sin α = 3,83*10⁵ / 0,2419 ≈ 1,6*10⁶ м/с  или  1,6 Мм/с

Answer 2

Для определения скорости протона в данном случае, нам понадобится знать формулу для центростремительного ускорения заряда движущегося в магнитном поле. Это ускорение обусловлено силой Лоренца и определяется следующей формулой:

$F_{\text{л}} = q \cdot v \cdot B,$

где: $F_{\text{л}}$ - сила Лоренца, $q$ - заряд протона, $v$ - скорость протона, $B$ - индукция магнитного поля.

Также, известно, что центростремительное ускорение заряда, движущегося в круговой орбите радиусом $R$, связано с радиусом $R$ и угловой скоростью $\omega$ следующим соотношением:

$a_{\text{цс}} = \frac{v^2}{R},$

где: $a_{\text{цс}}$ - центростремительное ускорение, $R$ - радиус орбиты.

Теперь мы можем объединить эти две формулы:

$q \cdot v \cdot B = \frac{q \cdot v^2}{R}.$

Заметим, что заряд протона $q$ отсутствует в правой части уравнения, поэтому он может сократиться с обеих сторон уравнения:

$v \cdot B = \frac{v^2}{R}.$

Теперь выразим скорость протона $v$ через индукцию магнитного поля $B$ и радиус орбиты $R$:

$v = \frac{B \cdot R}{h},$

где $h$ - шаг винтовой линии.

Теперь подставим данные и решим уравнение:

$v = \frac{0.2 \, \text{T} \cdot 0.02 \, \text{м}}{0.5 \, \text{м}} = 0.008 \, \text{м/с}$

Таким образом, скорость протона равна $0.008 \, \text{м/с}$.