Question

Большая карусель вращается вокруг вертикальной оси, совершая один оборот за 6с. момент инерции карусели 1200кг×м^2. ребенок массой 40кг стоял первоначально в центре карусели, потом бежит по радиусу. Чему равна угловая скорость карусели, когда ребенок находится на расстоянии 2м от центра (ребенок как материальная точка) срочно ​

Answer 1

Задача на закон сохранения момента импульса

(момент импульса L=mvr ; v=wr, тогда L=mwr^2=Iw)

$L_0=I_0*w_0\\ L_1=I_0*w'+I_m*w'$

I - момент инерции

w - угловая скорость

поясняю: начальным импульс системы состоял только из карусели, мальчик стоящий на оси не влияет.

момент импульса после состоит из: всё той же карусели, но она двигается уже с другой угловой скоростью + импульс мальчика, при чём он двигается со скоростью карусели w', а его момент инерции = mr^2

$I_0*\dfrac{2\pi}{T} =w'(I_0+I_m)\\ \\ w'=\dfrac{2\pi I_0}{T(I_o+r^2m)} = \dfrac{2\pi *1200}{6(1200+2^2*40)} \approx 0,92 rad/s$

Answer 2

Для решения этой задачи можно использовать закон сохранения момента импульса. Поскольку карусель может считаться системой с постоянным моментом инерции, то момент импульса будет сохраняться при движении ребенка по радиусу.

Момент импульса карусели до того, как ребенок начал движение, равен:

$L_1 = I \cdot \omega_1$,

где $I$ - момент инерции карусели, а $\omega_1$ - угловая скорость карусели до того момента, когда ребенок начал движение.

Когда ребенок движется по радиусу, он несет свой собственный момент импульса, который равен:

$L_{\text{ребенок}} = m \cdot v \cdot r$,

где $m$ - масса ребенка, $v$ - его линейная скорость, $r$ - расстояние от центра карусели до ребенка.

После того, как ребенок начал двигаться, карусель и ребенок будут вращаться с одинаковой угловой скоростью $\omega_2$.

Таким образом, закон сохранения момента импульса дает нам уравнение:

$L_1 = L_{\text{ребенок}}$.

Подставляя значения, получим:

$I \cdot \omega_1 = m \cdot v \cdot r$.

Теперь нам нужно выразить линейную скорость $v$ ребенка через его угловую скорость $\omega_2$. Поскольку ребенок движется по окружности, то $v = r \cdot \omega_2$.

Теперь можем переписать уравнение:

$I \cdot \omega_1 = m \cdot r \cdot \omega_2 \cdot r$.

И, наконец, можем найти угловую скорость карусели $\omega_2$, когда ребенок находится на расстоянии 2 м от центра:

$\omega_2 = \frac{I \cdot \omega_1}{m \cdot r^2}$.

Поскольку карусель совершает один оборот за 6 секунд, то угловая скорость $\omega_1$ равна $2\pi$ радиан в 6 секунд:

$\omega_1 = \frac{2\pi}{6} \, \text{рад/с}$.

Подставим значения:

$\omega_2 = \frac{1200 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2 \cdot \frac{2\pi}{6} \, \text{рад/с}}{40 \, \text{кг} \cdot (2 \, \text{м})^2}$.

Рассчитаем:

$\omega_2 = \frac{1200 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2 \cdot \frac{\pi}{3} \, \text{рад/с}}{160 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2}$.

$\omega_2 = \frac{5\pi}{6} \, \text{рад/с}$ (приблизительно).

Таким образом, угловая скорость карусели, когда ребенок находится на расстоянии 2 м от центра, составляет примерно $5\pi/6 \, \text{рад/с}$.