Question

На гладком горизонтальном полу лежит тонкая соломинка массы M и длины L. На одном из концов соломинки сидит кузнечик массы m. С какой минимальной по модулю скоростью должен прыгнуть кузнечик чтобы оказаться на другом конце соломинки?

Answer 1

Ответ:

v=sqrt(m*g*L/(M+m)

Объяснение:

Время полета кузнечика t=2*V*siha/g, скорость перемещения соломинки Vc=L/t=L*g/2*V*sina, Закон сохранения для системы соломинка кузнечик: (V+m)*V*cosa=m*Vc   (M+m)*V*cosa=m*L*g/2*V*sina  V=sqrt(m*g*L/(M+m)*2*sina*cosa)=sqrt(m*g*L/(M+m)*sin2a)   Для минимальной скорости sin2a=1   V=sqrt(m*g*L/(M+m)

Answer 2

Для решения этой задачи, можно использовать законы сохранения момента импульса и энергии.

Пусть $x$ - расстояние от кузнечика до центра масс соломинки (точки, вокруг которой будет вращаться система соломинки и кузнечика). Поскольку соломинка тонкая, мы можем считать её массой сконцентрированной в этой центральной точке.

При прыжке кузнечик получает горизонтальную скорость $v$. Скорость, которую получит соломинка, будет также равна $v$, но направлена в противоположную сторону. Мы можем применить закон сохранения момента импульса:

$M \cdot 0 + m \cdot v = M \cdot v_s + m \cdot (-v_s)$

где $v_s$ - скорость соломинки после прыжка кузнечика. Моменты импульса кузнечика и соломинки относительно центра масс системы должны быть равны, и поэтому их сумма равна нулю.

Теперь применим закон сохранения энергии. Потенциальная энергия кузнечика до прыжка превращается в его кинетическую энергию после прыжка, а также в потенциальную энергию системы "кузнечик + соломинка" после прыжка:

$mgh = \frac{1}{2}m v^2 + \frac{1}{2}M v_s^2$

где $h$ - высота, на которую подпрыгнул кузнечик.

Теперь можно решить уравнения для $v$ и $v_s$:

$v_s = \sqrt{\frac{2mgh}{M+m}}$

$v = \sqrt{\frac{2mgh}{M+m}}$

Таким образом, минимальная по модулю скорость, с которой должен прыгнуть кузнечик, чтобы оказаться на другом конце соломинки, равна $\sqrt{\frac{2mgh}{M+m}}$.