Question

Определить максимальные значения скорости и ускорения точки, совершающей гармонические колебания с амплитудой 4 см и угловой частотой 3,14 с-1. С ПОДРОБНЫМ ОБЪЯСНЕНИЕМ, ПОЖАЛУЙСТА

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

A=0.04 м    ω=3,14 рад/с    vm=?    am=?

===

Уравнение гармонических колебаний

x(t)=A*sin(ω*t)

Первая производная дает значение скорости

v(t)=dx/dt=A*ω*cos(ω*t)

Где A*ω - амплитудное значение скорости

vm=A*ω=0.04*3.14=0.1256 м/с

Производная скорости дает значение ускорения

a(t)=dv/dt= -A*ω²*sin(ω*t)

Где A*ω² - амплитудное значение ускорения

am=A*ω²=0.04*3.14²=0.394 м/с²

=======================================

Answer 2

Чтобы определить максимальные значения скорости и ускорения точки, совершающей гармонические колебания, нужно знать, что гармонические колебания описываются следующими уравнениями:

$x(t) = A \cdot \cos(\omega t)$

$v(t) = -A \cdot \omega \cdot \sin(\omega t)$

$a(t) = -A \cdot \omega^2 \cdot \cos(\omega t)$

Где:

• $x(t)$ - положение точки в момент времени $t$,
• $v(t)$ - скорость точки в момент времени $t$,
• $a(t)$ - ускорение точки в момент времени $t$,
• $A$ - амплитуда колебаний,
• $\omega$ - угловая частота колебаний.

В данном случае, амплитуда $A$ равна 4 см (или 0.04 м) и угловая частота $\omega$ равна 3.14 с^-1.

1. Максимальная скорость: Максимальная скорость точки достигается в момент времени, когда синусоидальное выражение в уравнении для скорости принимает максимальное значение. Максимальное значение синуса равно 1, поэтому максимальная скорость равна:

$v_{\text{max}} = -A \cdot \omega$ $v_{\text{max}} = -0.04 \, \text{м} \cdot 3.14 \, \text{с}^{-1}$ $v_{\text{max}} \approx -0.1256 \, \text{м/с}$

Ответ: Максимальная скорость точки составляет около 0.1256 м/с и направлена в обратном направлении по отношению к направлению движения точки в положительном направлении оси $x$.

2. Максимальное ускорение: Максимальное ускорение точки достигается в момент времени, когда косинусоидальное выражение в уравнении для ускорения принимает максимальное значение. Максимальное значение косинуса равно 1, поэтому максимальное ускорение равно:

$a_{\text{max}} = -A \cdot \omega^2$ $a_{\text{max}} = -0.04 \, \text{м} \cdot (3.14 \, \text{с}^{-1})^2$ $a_{\text{max}} \approx -0.3944 \, \text{м/с}^2$

Ответ: Максимальное ускорение точки составляет около 0.3944 м/с^2 и направлено против движения точки в положительном направлении оси $x$.

Итак, максимальная скорость точки равна примерно -0.1256 м/с, а максимальное ускорение равно примерно -0.3944 м/с^2.