Question

Даю 90 баллов! Якої найбільшої висоти можна було б виготовити колону з граніту, щоб вона не зруйнувалася під дією сили тяжіння? Граніт витримує найбільший тиск 270 МПа.

Answer 1

Какой наибольшей высоты можно было бы изготовить колонну из гранита, чтобы она не разрушилась под действием силы тяжести?

Гранит выдерживает наибольшее давление 270 МПа.

----------------------------------------------

Давление колонны из гранита на нижние слои:

        p = ρgh, где ρ = 2700 кг/м³ - плотность гранита

                              g = 10 Н/кг -ускорение своб. падения

                              h - высота колонны, м

Тогда:

        h = p/(ρg) = 270 · 10⁶ : 27000 = 10⁴ (м) = 10 км

Answer 2

Для визначення максимальної висоти колони з граніту, яка не зруйнується під дією сили тяжіння, ми можемо використовувати формулу для критичного навантаження стовпчика, також відомого як критичне навантаження Ейлера:

$P_{\text{кр}} = \frac{{\pi^2 \cdot E \cdot I}}{{(KL)^2}}$

де: $P_{\text{кр}}$ - критичне навантаження (тиск) на колону, $E$ - модуль Юнга матеріалу (приблизно 70 ГПа для граніту), $I$ - другий момент площини стовпчика (відносно його перерізу), $K$ - коефіцієнт довільності (який для колон, закріплених на обох кінцях, становить приблизно 2), $L$ - довжина стовпчика.

Максимальна висота стовпчика буде тоді, коли $P_{\text{кр}}$ буде дорівнювати тиску, який витримує граніт, тобто 270 МПа (мегапаскалів). Замінивши в формулі значення і розв'язавши відносно $L$, отримаємо:

$L = \frac{{\pi \cdot \sqrt{I \cdot E}}}{{\sqrt{P_{\text{кр}} \cdot K}}}$

Поки що нам не відомий другий момент площини $I$ для конкретної колони. Цей параметр залежить від геометрії колони та визначається за формулою $I = \frac{{\pi \cdot d^4}}{64}$, де $d$ - діаметр перерізу колони. Оскільки нам не надані розміри колони, ми не можемо точно визначити максимальну висоту.

Якщо у вас є додаткові дані щодо геометрії колони (наприклад, діаметр перерізу), я готовий допомогти вам розрахувати максимальну висоту.