Question

Яке прискорення вільного падіння на планеті радіус якої в 4 рази більший ніж радіус Землі в маса у 51 раз більша ніж маса Землі ?Планета обертається

Answer 1

Ускорение свободного падения на Земле:

                     $\displaystyle g_{z}=\frac{GM_{z}}{(R_{z}+h)^{2}}$

где G = 6,67·10⁻¹¹ H·м²/кг² - гравитационная постоянная

      Мz = 6·10²⁴ кг - масса Земли

      Rz = 6,38·10⁶ м - радиус Земли

      h - высота над поверхностью Земли, м

Для случая, когда тело находится на поверхности планеты (h = 0):

 $\displaystyle g_{p}=\frac{GM_{p}}{R_{p}^{2}}=\frac{51\cdot GM_{z}}{(4R_{z})^{2}}=\frac{51\cdot GM_{z}}{16\cdot R_{z}}\approx3,2\cdot g_{z}=3,2\cdot9,8=31,36 \ (m/c^{2})$      

Answer 2

Для знаходження прискорення вільного падіння на даній планеті можемо скористатись законом всесвітнього тяжіння, сформульованим Ісааком Ньютоном:

$F = \dfrac{G \cdot m_{\text{планети}} \cdot m_{\text{тіла}}}{r^2},$

де $F$ - сила тяжіння між планетою і тілом, $G$ - гравітаційна постійна ($G \approx 6.67430 \times 10^{-11}\, \text{м}^3 \, \text{кг}^{-1} \, \text{с}^{-2}$), $m_{\text{планети}}$ - маса планети, $m_{\text{тіла}}$ - маса тіла, $r$ - відстань між центром планети і центром тіла.

Оскільки планета обертається, то на поверхні планети ефективне прискорення вільного падіння буде залежати від обертової швидкості планети. На поверхні планети ефективне прискорення вільного падіння можна обчислити за допомогою такої формули:

$g = \dfrac{G \cdot m_{\text{планети}}}{r_{\text{планети}}^2},$

де $g$ - прискорення вільного падіння на поверхні планети, $r_{\text{планети}}$ - радіус планети.

За умовою маса планети у 51 раз більша ніж маса Землі, а радіус планети в 4 рази більший за радіус Землі.

Оскільки прискорення вільного падіння на Землі вважається відомим значенням, $g_{\text{Землі}} \approx 9.81\, \text{м/с}^2$, ми можемо знайти прискорення вільного падіння на даній планеті:

$g = \dfrac{G \cdot m_{\text{планети}}}{r_{\text{планети}}^2} = \dfrac{G \cdot (51 \cdot m_{\text{Землі}})}{(4 \cdot r_{\text{Землі}})^2}.$

$g = \dfrac{G \cdot 51 \cdot m_{\text{Землі}}}{16 \cdot r_{\text{Землі}}^2}.$

Тепер нам потрібно знайти масу та радіус Землі. Маса Землі $m_{\text{Землі}} \approx 5.972 \times 10^{24}\, \text{кг}$, а радіус Землі $r_{\text{Землі}} \approx 6.371 \times 10^6\, \text{м}$.

Підставляючи значення:

$g = \dfrac{(6.67430 \times 10^{-11}\, \text{м}^3 \, \text{кг}^{-1} \, \text{с}^{-2}) \cdot 51 \cdot (5.972 \times 10^{24}\, \text{кг})}{16 \cdot (6.371 \times 10^6\, \text{м})^2}.$

$g \approx 13.14\, \text{м/с}^2.$

Отже, прискорення вільного падіння на цій планеті приблизно дорівнює $13.14\, \text{м/с}^2$.