Question

Спектральная плотность энергетической светимости черного тела в некотором интервале длин волн равна ελ =3·104Вт/(м2·нм). Определите соответствующую спектральную плотность энергетической светимости серого тела, имеющего ту же температуру и коэффициент поглощения α=0,8?

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Дано:

Rч = 3·10⁴ Вт / (м²·нм) - спектральная плотность черного тела

αс = 0,8 - коэффициент поглощения

____________

Rc - ?

Серым называется  тело, коэффициент поглощения которого одинаков для всех частот и зависит только от температуры, материала и состояния поверхности.  Энергетическая светимость серого тела связана с энергетической светимостью абсолютно черного тела:

Rс = α·Rч,

где Rc, Rч – энергетические светимости серого и абсолютно черного тела, ас –коэффициент черноты.

Имеем:

Rc = 0,8·3·10⁴ =  2,4·10⁴ Вт / (м²·нм)

Answer 2

Спектральная плотность энергетической светимости черного тела определяется законом Планка:

$B_\lambda(T) = \dfrac{2\pi hc^2}{\lambda^5} \cdot \dfrac{1}{e^\frac{hc}{\lambda kT} - 1}$

где:

• $B_\lambda(T)$ - спектральная плотность энергетической светимости черного тела при температуре $T$ и длине волны $\lambda$.
• $h$ - постоянная Планка ($6.626 \times 10^{-34}$ Дж * с).
• $c$ - скорость света ($3 \times 10^8$ м/с).
• $k$ - постоянная Больцмана ($1.38 \times 10^{-23}$ Дж/К).
• $T$ - температура (в К).
• $\lambda$ - длина волны (в метрах).

Спектральная плотность энергетической светимости серого тела связана с плотностью энергии черного тела через коэффициент поглощения $\alpha$:

$E_\lambda(T) = (1 - \alpha) \cdot B_\lambda(T)$

где:

• $E_\lambda(T)$ - спектральная плотность энергетической светимости серого тела при температуре $T$ и длине волны $\lambda$.
• $\alpha$ - коэффициент поглощения.

Для определенной длины волны $\lambda$ у черного тела и серого тела спектральные плотности энергетической светимости связаны следующим образом:

$E_\lambda(T) = (1 - \alpha) \cdot B_\lambda(T)$

Так как черное тело и серое тело имеют одинаковую температуру $T$, мы можем подставить выражение для $B_\lambda(T)$ в это уравнение:

$E_\lambda(T) = (1 - \alpha) \cdot \dfrac{2\pi hc^2}{\lambda^5} \cdot \dfrac{1}{e^\frac{hc}{\lambda kT} - 1}$

Подставляя значения $h$, $c$, $k$, $T$ и известное значение $\alpha = 0.8$, а также переводя миллиметры в метры для длины волны $\lambda$, мы можем рассчитать $E_\lambda(T)$ для данной длины волны.