Question

Найдите (с выводом формулы) изменение энтропии одноатомного идеального газа, если давление увеличилось в 3 раза, а температура уменьшилась в 2 раза.

Answer 1

Ответ:

Уменьшится на 23,5 Дж/К для каждого моля.

Объяснение:

Перепишем 1 закон термодинамики

$dS=c_p\frac{dT}{T}-R\frac{dP}{P}$

Перейдем к конечным приращениям, проинтегрировав обе части выражения

$\Delta S=\int\,dS=\int\limits^2_1 {\frac{c_p}{T} } \, dT-\int\limits^2_1 {\frac{R}{P} } \, dP=c_pln\frac{T_2}{T_1} -Rln\frac{P_2}{P_1}$

Для одноатомного газа изобарная теплоемкость ср=5R/2 =20.8 Дж/(моль*К), тогда

$\Delta S=20.8*ln0.5-8.31*ln3=-23.5$ Дж/К на 1 моль.

Answer 2

Изменение энтропии ($\Delta S$) для одноатомного идеального газа можно выразить через формулу:

$\Delta S = C_v \ln\left(\frac{T_2}{T_1}\right) + R \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right)$,

где $C_v$ - молярная удельная теплоемкость при постоянном объеме, $R$ - универсальная газовая постоянная, $T_1$ и $T_2$ - начальная и конечная температуры, $V_1$ и $V_2$ - начальный и конечный объемы.

В данном случае мы имеем изменение давления ($P$) и изменение температуры ($T$) при постоянном объеме ($V$):

$\frac{P_2}{P_1} = 3$ (давление увеличилось в 3 раза) и $\frac{T_2}{T_1} = \frac{1}{2}$ (температура уменьшилась в 2 раза).

Так как у нас постоянный объем ($V_1 = V_2$), изменение объема не вносит вклад в изменение энтропии.

Подставляя данные в формулу, получаем:

$\Delta S = C_v \ln\left(\frac{1}{2}\right) + R \ln(1)$.

Так как $\ln(1) = 0$, первое слагаемое остается:

$\Delta S = C_v \ln\left(\frac{1}{2}\right)$.

Теперь мы можем выразить молярную удельную теплоемкость $C_v$ через уравнение состояния идеального газа:

$C_v = \frac{f}{2} R$,

где $f$ - число степеней свободы молекулы. Для одноатомного газа $f = 3$ (3 трансляционные степени свободы).

Подставляя значение $C_v$ и учитывая, что $\ln\left(\frac{1}{2}\right) = -\ln(2)$, получаем:

$\Delta S = \frac{3}{2} R \cdot (-\ln(2))$.

Таким образом, изменение энтропии одноатомного идеального газа при увеличении давления в 3 раза и уменьшении температуры в 2 раза равно:

$\Delta S = -\frac{3}{2} R \ln(2)$.