Question

Цилиндрическая катушка с плотной однослойной намоткой и площадью поперечного сечения S = 5.0 см2, имеющая N = 5000 витков, помещена в магнитное поле, индукция которого изменяется во времени по закону B = 10cos(2πt) мТл. Ось катушки составляет с вектором магнитной индукции угол α = 45°. Определите максимальную по абсолютной величине ЭДС индукции, возникающую в катушке. Ответ приведите в вольтах и округлите до сотых.

Answer 1

Ответ:

111 В

Объяснение:

ЭДС индукции определяется скоростью изменения магнитного потока через контур:

ξ=-dФ/dt=-d(B*S)/dt=-S*dB/dt;

Скорость изменения магнитной индукции можно найти из уравнения B(t), продифференцировав его по времени:

dB/dt=-20π*sin(2πt);

Амплитуда скорости составит 20π Тл/с, тогда амплитудное значение ЭДС индукции в одном витке:

ξmax=20πS*cos45°=20*3.14*5*10⁻⁴*0.707=0,0222 В;

Во всей катушке максимальное ЭДС:

Еmax=Nξmax=5000*0.0222=111 В.

Answer 2

Для вычисления ЭДС индукции в катушке используем закон индукции Фарадея:

$\mathcal{E} = -N \frac{d\Phi}{dt},$

где $N$ - число витков катушки, $\Phi$ - магнитный поток через поверхность катушки.

Магнитный поток через поверхность катушки можно выразить как произведение магнитной индукции $B$, площади поперечного сечения $S$ и косинуса угла $\alpha$ между направлением вектора магнитной индукции и нормалью к площади:

$\Phi = B \cdot S \cdot \cos(\alpha).$

Из условия дано:

• Площадь поперечного сечения $S = 5.0$ см² = $5.0 \times 10^{-4}$ м².
• Число витков $N = 5000$.
• Индукция $B = 10 \cos(2\pi t)$ мТл.

Угол $\alpha = 45°$ радиан.

Теперь можем выразить ЭДС индукции:

$\mathcal{E} = -N \frac{d\Phi}{dt} = -N \cdot S \cdot \frac{d}{dt} (B \cdot \cos(\alpha)).$

Производная индукции $B$ по времени $\frac{d}{dt} (B \cdot \cos(\alpha))$ равна:

$\frac{d}{dt} (B \cdot \cos(\alpha)) = -2\pi B \cdot \sin(2\pi t),$

так как производная $\frac{d}{dt} \cos(x) = -\sin(x)$, а также учитывая, что $\alpha = 45°$.

Теперь можем подставить значения и рассчитать ЭДС индукции:

$\mathcal{E} = -N \cdot S \cdot \frac{d}{dt} (B \cdot \cos(\alpha)) = -5000 \cdot (5.0 \times 10^{-4}) \cdot (-2\pi \cdot 10 \cos(2\pi t) \cdot \sin(2\pi t)).$

Максимальное значение синуса $\sin(2\pi t)$ равно 1, поэтому максимальное значение ЭДС будет:

$\mathcal{E}_{\text{max}} = 5000 \cdot (5.0 \times 10^{-4}) \cdot 2\pi \cdot 10 = 0.157 \, \text{В}.$

Округляя до сотых, получаем, что максимальная по абсолютной величине ЭДС индукции, возникающая в катушке, равна 0.16 Вольта.