Question

Из точки с координатами (0, 4, 0) м. вертикально вверх бросили тело массой 200 г. со скоростью 6 м/с. Определите модуль приращения момента импульса тела относительно начала координат за время его полета вверх и обратно в исходную точку. Сопротивлением воздуха пренебречь.. Ось Z направлена вертикально вверх.

Answer 1

Ответ:

Полет вверх - уменьшится на 4,8 кг*м²/с

полет вниз - увеличится на 4,8 кг*м²/с

За весь полет приращение будет равно нулю.

Объяснение:

Давайте посмотрим на полет тела со стороны оси х, как показано на рисунке.

Сила тяжести создает вращающий момент относительно начала координат, равный

$\vec{M}=[\vec{r}\times m\vec{g}]$

Модуль которого

$M=mgrsin\alpha$

Однако, заметим что $rsin\alpha =4$

Значит момент, создаваемый силой тяжести относительно начала координат, постоянен во времени.

Приращение момента импульса (сила тяжести все время стремится повернуть тело по часовой стрелке, значит ее момент отрицателен)

$\Delta L=\int\limits^{t_2}_{t_1} {M(t)} \, dt=-\int\limits^{t_2}_{t_1} {4mg} \, dt=-4mgt|_{t_1}^{t_2}=-4mg(t_2-t_1)$

Разность времен в скобках нечто иное, как время достижения телом наибольшей высоты, его легко найти

$t_2-t_1=0.6$ с

Значит, приращение момента импульса

$\Delta L=-4*0.2*10*0.6=-4.8$ кг*м²/с

Мы видим, что момент импульса уменьшается при полете вверх.

При полете вниз момент импульса тела относительно начала координат должен возрасти на туже величину, т.е. $\Delta L=4.8$ кг*м²/с.

Альтернативный способ решения

Решим эту задачу, опираясь на еще одно определение момента импульса

$L=J\omega$

где J - момент инерции тела относительно начала координат

$J=mr^2$

ω - угловая скорость тела относительно начала координат

$\omega = \frac{v}{r}$

Выразим обе величины через высоту подъема тела

$J(h)=mr^2(h)=m(16+h^2)$

$\omega=\frac{6-\sqrt{2gh} }{\sqrt{16+h^2} }$

Тогда, момент импульса

$L(h)=m(16+h^2)\frac{6-\sqrt{2gh} }{\sqrt{16+h^2} }=m(6-\sqrt{2gh} )\sqrt{16+h^2}$

Максимальная высота полета h=1.8 м, тогда

- полет наверх

$\Delta L=L_2-L_1=0.2*(6-\sqrt{2*10*1.8} )\sqrt{16+1.8^2}-0.2*(6-0)\sqrt{16+0}=$

$=0-4.8=-4.8$ кг*м²/с

- полет вниз

$\Delta L=0.2*(6-0)\sqrt{16+0}-0.2*(6-\sqrt{2*10*1.8} )\sqrt{16+1.8^2}=4.8$ кг*м²/с.

Answer 2

Момент импульса тела определяется как произведение его массы на скорость и расстояние от точки отсчета до тела. В данном случае, мы можем разделить движение на две фазы: движение вверх и движение обратно в исходную точку. В начальный момент времени момент импульса тела равен нулю.

1. Движение вверх: В начальный момент времени (0, 4, 0), скорость тела равна 6 м/с. За время движения вверх она будет уменьшаться из-за действия гравитации. Так как сопротивление воздуха пренебрегается, ускорение будет постоянным и равным ускорению свободного падения g ≈ 9.8 м/с² (в предположении, что движение происходит на Земле).

Время подъема можно найти из уравнения движения:

$v = u - gt,$

где: v - конечная скорость (0 м/с, на максимальной высоте), u - начальная скорость (6 м/с), g - ускорение свободного падения (9.8 м/с²), t - время подъема.

Подставляем известные значения и находим t:

$0 = 6 - 9.8t \Rightarrow t = \frac{6}{9.8} ≈ 0.6122\ с.$

За это время тело поднимется до некоторой максимальной высоты. На этой высоте его вертикальная скорость станет нулевой.

Модуль момента импульса на этом этапе можно найти как $|\text{момент импульса}| = m \cdot v,$ где m - масса тела, v - скорость тела. На максимальной высоте скорость равна нулю, так что момент импульса на этой высоте также будет нулевым.

2. Движение обратно в исходную точку: Теперь тело начинает двигаться вниз с начальной скоростью 0 м/с и ускорением g. На его пути будет точка (0, 4, 0), и его скорость будет увеличиваться из-за действия гравитации.

Как только тело вернется в точку (0, 4, 0), его скорость будет равна начальной скорости -6 м/с (с противоположным направлением). Модуль момента импульса в этот момент будет равен $m \cdot v = 0.2 \ \text{кг} \cdot 6 \ \text{м/с} = 1.2 \ \text{кг м/с}.$

Таким образом, модуль приращения момента импульса тела относительно начала координат за время его полета вверх и обратно в исходную точку составляет 1.2 кг м/с.