Question

Амплитуда колебания точки, гармонично колеблется 2 см, частота колебаний 10Гц и начальная фаза п / 3. Найти скорость и ускорение точки для любого момента времени?

Answer 1

Ответ:

$v(t)=40\pi cos(20\pi t+\frac{\pi }{3} )$ см/с

$a(t)=-800\pi ^2sin(20\pi t+\frac{\pi }{3} )$ см/с²

Объяснение:

Составим уравнение колебаний точки, для этого нам потребуются

-амплитуда $x_0=2$ см

-угловая частота $\omega=2\pi \nu=2\pi *10=20\pi$ рад/с

-начальная фаза $\phi_0=\frac{\pi }{3}$

Само уравнение имеет вид

$x(t)=x_0sin(\omega t+\phi_0)=2sin(20\pi t+\frac{\pi }{3} )$ см

Скорость и ускорение точки найдем как первую и вторую производную координаты по времени

$v(t)=\frac{d}{dt} x(t)=40\pi cos(20\pi t+\frac{\pi }{3} )$ см/с

$a(t)=\frac{d^2}{dt^2}x(t)=-800\pi ^2sin(20\pi t+\frac{\pi }{3} )$ см/с².

Answer 2

Ответ: х(t)=2*cos(2*π*10*t+π/3), скорость равна v(t)=x'(t)=-2*20*π*sin(2*π*10*t+π/3) см/с, ускорение равно a(t)=v'(t)=-800*π²*cos(2*π*10*t+π/3) см/с².

Объяснение:

Answer 3

Для гармонических колебаний точки вдоль оси, амплитуда $A$, частота $\omega$ и начальная фаза $\phi$ связаны следующим образом:

$x(t) = A \cos(\omega t + \phi),$

где $x(t)$ - положение точки в момент времени $t$.

Для данного случая, заданы:

• Амплитуда $A = 2$ см (или 0.02 м),
• Частота $\omega = 2\pi f$, где $f = 10$ Гц (10 раз в секунду),
• Начальная фаза $\phi = \frac{\pi}{3}$.

Скорость точки можно найти, взяв производную по времени от положения:

$v(t) = \frac{dx(t)}{dt} = -A \omega \sin(\omega t + \phi).$

Ускорение точки можно найти, взяв вторую производную по времени:

$a(t) = \frac{d^2x(t)}{dt^2} = -A \omega^2 \cos(\omega t + \phi).$

Теперь подставим значения $A$, $\omega$, и $\phi$:

$v(t) = -0.02 \cdot 2\pi \cdot 10 \cdot \sin(2\pi \cdot 10 t + \frac{\pi}{3}),$

$a(t) = -0.02 \cdot (2\pi \cdot 10)^2 \cdot \cos(2\pi \cdot 10 t + \frac{\pi}{3}).$

Таким образом, выразили формулы для скорости и ускорения точки для любого момента времени $t$. Просто подставьте конкретное значение времени, чтобы найти соответствующие значения скорости и ускорения.