Question

ДАЮ 100 БАЛЛОВ!!! В вашем распоряжении имеются 50 резисторов с номиналами 1 Ом, 2 Ом, 3 Ом, …, 10 Ом – каждого номинала по пять штук. Какое максимальное количество сбалансированных мостов Уитстона можно одновременно собрать из этого набора так, чтобы в каждой мостовой схеме все резисторы имели разное сопротивление?

Answer 1

Ответ:

Мост Уитстона является сбалансированным когда разность потенциалов равна нулю, по нашей схеме если φ1-φ2=0, то мост Уитстона в нашем случае является сбалансированным.

В узел E, поступает ток I1 и из узла выпускает ток I3 и j, ток j=0, так как напряжение - это разность потенциалов, а у нас в этом месте φ1-φ2=0 то есть как раз разность потенциалов равна нулю (так как это сбалансированный мост Уитстона) значит и напряжение на этом участке равно 0 и по закону Ома j=U/r где r-сопротивление резистора; j-ток протекающий через этот участок; U-разность потенциалов на этом участке. Следовательно j=0/r даже не зная r понятно, что j=0 А так как 0 в числителе. Поэтому по закону сохранения заряда какой ток поступает в узел такой и выпускает. То есть I1=I3+j мы выяснили что j=0, следовательно I1=I3.

В узел F, поступает ток j и I2, а выпускается ток I4. По закону сохранения заряда j+I2=I4 так как мы выяснили, что j=0, то I2=I4.

Так как φ1-φ2=0, то φ1=φ2 обозначим их как просто φ, то есть φ1=φ2=φ.

Так как напряжение - это разность потенциалов (по определению), то по закону Ома:

I1=(U-φ1)/R1=(U-φ)/R1

I3=(φ1-0)/R3=(φ-0)/R3=φ/R3

I2=(U-φ2)/R2=(U-φ)/R2

I4=(φ2-0)/R4=(φ-0)/R4=φ/R4

Раз I1=I3 и I2=I4, то:

1) I1=I3

(U-φ)/R1=φ/R3

2) I2=I4

(U-φ)/R2=φ/R4

Составим систему уравнений:

(U-φ)/R1=φ/R3

(U-φ)/R2=φ/R4

(U-φ)/φ=R1/R3

(U-φ)/φ=R2/R4

Следовательно:

R1/R3=R2/R4

R1*R4=R2*R3 - это значит, что когда у нас сбалансированный мост Уитстона, то произведения сопротивлений по диагонали равны.

Каждое равенство R1*R4=R2*R3 - это 1 комбинация (1 отдельный сбалансированный мост Уитстона), главное чтобы в каждой комбинации были разные R1 и R2 и R3 и R4  (так как по условию просят, чтобы резисторы, а следовательно и сопротивление было разным).

Также следим чтобы во всех комбинациях не повторялись цифры больше чем 5 раз, так как по условию у нас имеется по 5 штук резисторов каждого сопротивления от 1 Ом до 10 Ом.

Ну и само собой R1, R2, R3, R4 не может быть меньше 1 Ом и больше 10 Ом (по условию).

Я нашёл таких комбинаций 8 штук, вот они:

1) 1*10=2*5

2) 1*8=2*4

3) 1*6=2*3

4) 2*6=3*4

5) 2*10=4*5

6) 3*8=4*6

7) 3*10=5*6

8) 4*10=5*8

Также можно собрать сбалансированные мосты Уитстона с помощью эквивалентных сопротивлений:

9) (9+7)*5=8*10

10) (7+1)*9=(6+3)*8

Как итог осталось 1 шт. резистора с сопротивлением 1 Ом, 3 шт. резистора 7 Ом и 3 шт. резистора 9 Ом (с ними уже не получится сделать ещё, хотя-бы один, сбалансированный мост Уитстона).

То есть итого можно собрать одновременно из этого набора как максимум 10 сбалансированных мостов Уитстона, при том что в каждой мостовой схеме все резисторы имеют разное сопротивление.

Ответ: Можно собрать одновременно из этого набора как максимум 10 сбалансированных мостов Уитстона, при том что в каждой мостовой схеме все резисторы имеют разное сопротивление.

Объяснение:

Answer 2

Сбалансированный мост Уитстона - это электрическая схема, которая состоит из четырех резисторов, образующих параллелограмм. Для того чтобы мост Уитстона был сбалансированным, выполняется условие, что отношение сопротивлений противоположных резисторов одинаково. В данном случае, у нас есть 50 резисторов различных номиналов.

Чтобы максимизировать количество сбалансированных мостов Уитстона с уникальными резисторами, давайте рассмотрим следующий подход:

1. Выберем первый резистор. Это может быть любой из 50 резисторов.

2. Выберем второй резистор. Так как нам нужно, чтобы резисторы были уникальными, выберем резистор с наибольшим номиналом, который еще не был выбран. В данном случае это резистор с номиналом 10 Ом.

3. Третий резистор выбираем таким образом, чтобы он создавал баланс со вторым резистором. Это означает, что отношение номиналов выбранных резисторов должно быть таким же, как отношение номиналов первого и четвертого резисторов.

4. Четвертый резистор выбираем таким образом, чтобы он создавал баланс с первым резистором.

После этого процесса у нас будет собран один сбалансированный мост Уитстона. Теперь мы можем продолжить этот процесс с оставшимися резисторами, и каждый раз получать новый сбалансированный мост.

Таким образом, максимальное количество сбалансированных мостов Уитстона, которое можно собрать из данного набора резисторов так, чтобы в каждой мостовой схеме все резисторы имели разное сопротивление, равно 50.