Question

Найдите явный вид матриц-операторов компонент углового момента в состоянии с полным моментом

Answer 1

Напомним основные свойства операторов углового момента с J=1

$\hat{J}_z|m\rangle = m|m\rangle\\\hat{J}^2|m\rangle = J(J+1)|m\rangle = 2|m\rangle$

Введем повышающий и понижающий операторы

$\hat{J}_\pm = \hat{J}_x\pm i\hat{J}_y$

И вспомним их действие на $|m\rangle$

$\hat{J}_\pm|m\rangle = k_\pm|m\pm1\rangle$

Чтобы найти коэффициенты, отметим, что

$|k_+|^2 = \langle m| \hat{J}_-\hat{J}_+|m\rangle = \langle m| \hat{J}^2-\hat{J}_z^2-\hat{J}_z|m\rangle = 2-m^2-m\\|k_-|^2 = \langle m| \hat{J}_+\hat{J}_-|m\rangle = \langle m| \hat{J}^2-\hat{J}_z^2+\hat{J}_z|m\rangle = 2-m^2+m$

И поймем очевидное, что возможны лишь состояния с m=-1, 0, 1. Теперь мы можем понять, что

$></p> <p>Теперь рассмотрим произвольное состояние</p> <p><img src=$

Действие на него оператора $\hat{J}_z$ сводится к

$\hat{J}_z|\Psi\rangle = \alpha|1\rangle-\gamma|{-1}\rangle \equiv\begin{pmatrix} 1&0&0\\0&0&0\\0&0&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\alpha\\ \beta\\ \gamma\end{pmatrix}$

Оператор $\hat{J}_x = (\hat{J}_++\hat{J}_-)/2$, поэтому

$\hat{J}_x|\Psi\rangle = 2^{-1/2}(\beta|1\rangle + (\alpha+\gamma)|0\rangle + \beta|{-1}\rangle)\equiv\begin{pmatrix} 0&\sqrt{2}/2&0\\\sqrt{2}/2&0&\sqrt{2}/2\\0&\sqrt{2}/2&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\alpha\\ \beta\\ \gamma\end{pmatrix}$

Аналогично  $\hat{J}_y = i(\hat{J}_- - \hat{J}_+)/2$, поэтому

$\hat{J}_y|\Psi\rangle = i2^{-1/2}(-\beta|1\rangle + (\alpha-\gamma)|0\rangle + \beta|{-1}\rangle)\equiv\begin{pmatrix} 0&-i\sqrt{2}/2&0\\i\sqrt{2}/2&0&-i\sqrt{2}/2\\0&i\sqrt{2}/2&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\alpha\\ \beta\\ \gamma\end{pmatrix}$

Answer 2

Угловой момент является важным понятием в квантовой механике и описывает вращательную симметрию системы. Он имеет три компоненты: $J_x$, $J_y$ и $J_z$, которые образуют полный момент углового момента $J$. Важно отметить, что операторы компонент углового момента не коммутируют между собой, что приводит к наличию соотношения неопределенности между измерениями разных компонент.

Явный вид матриц-операторов компонент углового момента в состоянии с определенным полным моментом $j$ можно записать в базисе собственных функций операторов $J^2$ и $J_z$. Эти операторы имеют следующие определения:

1. Оператор квадрата полного углового момента $J^2$: $J^2 = J_x^2 + J_y^2 + J_z^2.$

2. Оператор компоненты углового момента по оси $z$ ($J_z$): $J_z = -i\hbar \frac{\partial}{\partial \phi},$ где $\phi$ - угол в полярных координатах.

В базисе собственных функций $|j, m\rangle$ операторов $J^2$ и $J_z$, где $j$ - полный момент углового момента, а $m$ - его проекция на ось $z$, матрицы операторов $J_x$, $J_y$ и $J_z$ имеют следующий явный вид:

1. Оператор компоненты углового момента $J_x$:

$$J_x = \frac{\hbar}{2} \left( J_+ + J_- \right),$$

где

$$J_+ = J_x + i J_y, \quad J_- = J_x - i J_y.$$

2. Оператор компоненты углового момента $J_y$:

$$J_y = \frac{\hbar}{2i} \left( J_+ - J_- \right),$$

3. Оператор компоненты углового момента $J_z$:

$$J_z = \hbar m.$$

Здесь $J_+$ и $J_-$ - операторы повышения и понижения соответственно.

Важно подчеркнуть, что явный вид матриц-операторов $J_x$ и $J_y$ будет зависеть от конкретного состояния $|j, m\rangle$, так как они будут действовать в пространстве собственных функций $J^2$ и $J_z$, приводя к комбинациям проекций углового момента на разные направления.