Question

Какую наименьшую работу (в Дж) надо совершить, чтобы намотать на горизонтальный тонкий стержень экранное полотно длиной 5 метров и высотой 3 метра, висящее над сценой вертикально? Плотность полотна 0.4 кг/м2. Ускорение свободного падения 10 м/с2.

Answer 1

Ответ:

Есть два способа решения:

1. Разобьём штору на тоооонкие полоски массы dm = pdx, где p = m/l. Работа на подъём каждого участка dA = xgdm = mgx dx/l. Берём риманов интеграл от 0 до l и получаем mgl/2.

2. Центр масс шторы находится в её середине (считаем что однородная). Введём нулевой потенциальной уровень на уровне гардины. Тогда вся потенциальная энергия шторы равна потенциальной энергии всей её массы сжатой в МТ помещённой в центр масс. l(c) = l/2 (из симетрии). Отсюда для приведения механической энергии к нулю потребуется совершить работу mgl/2

Объяснение:

Answer 2

Для намотки экранного полотна на горизонтальный стержень нам потребуется преодолеть силу тяжести полотна и преодолеть момент инерции при вращении полотна. Давайте разберемся поэтапно.

1. Сначала найдем массу полотна: Масса = плотность × площадь = 0.4 кг/м² × (5 м × 3 м) = 6 кг.

2. Преодоление силы тяжести: Для этого нам нужно поднять массу полотна на высоту, равную его высоте. Работа против силы тяжести вычисляется как работа = масса × ускорение свободного падения × высота. Работа = 6 кг × 10 м/с² × 3 м = 180 Дж.

3. Преодоление момента инерции при вращении: Момент инерции вращающегося полотна вокруг конца можно вычислить по формуле I = 1/3 * масса * длина². Момент инерции = 1/3 * 6 кг * (5 м)² = 50 кг·м².

Для вращения полотна на угол θ потребуется совершить работу, равную изменению его кинетической энергии: Работа = 1/2 * момент инерции * угловая скорость².

Угловая скорость в данном случае можно выразить через длину полотна (5 м) и угол намотки (90°, так как полотно вертикально): Угловая скорость = линейная скорость / радиус = 0.5 * (линейная скорость / радиус).

Линейная скорость можно выразить как изменение длины на изменение времени: Линейная скорость = изменение длины / изменение времени = 5 м / t, где t - время, за которое полотно намотается.

Таким образом, угловая скорость будет: Угловая скорость = 0.5 * (5 м / t) / 5 м = 0.1 / t рад/с.

Теперь можно записать формулу для работы: Работа = 1/2 * 50 кг·м² * (0.1 / t)² = 0.25 кг·м² / t².

4. Общая работа: Общая работа будет суммой работы против силы тяжести и работы для вращения: Общая работа = 180 Дж + 0.25 кг·м² / t².

Итак, минимальная работа, которую нужно совершить, чтобы намотать полотно на стержень, составляет 180 Дж + 0.25 кг·м² / t².