Question

Фазовый сдвиг между током и напряжением при частоте 50 Гц составляет 30 градусов. Если резистор и конденсатор соединены последовательно, какова емкость, если активное сопротивление составляет 10 Ом?

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

cos 30° = R / Z

Z = R / cos 30° = 10 / 0,866 ≈ 11,5 Ом

Но:

Z = √ (R² + Xc²)

Тогда:

Xc² = Z² - R²

Xc = √ (11,5² - 10²) ≈  √ (32)  ≈ 5,7 Ом

Но:

Xc = 1 / (2·π·f·C)

Xc = 1 / (314·C)

314·C = 1/Xc

C = 1 / (314·5,7) ≈ 560·10⁻⁶ Ф    или   560 мкФ

Answer 2

Фазовый сдвиг между током и напряжением в электрической цепи, содержащей резистор (R) и конденсатор (C), связан с аргументом импеданса конденсатора. Импеданс конденсатора определяется формулой:

$Z_c = \frac{1}{j \omega C},$

где $j$ - мнимая единица ($j^2 = -1$), $\omega$ - угловая частота ($\omega = 2 \pi f$), $f$ - частота (50 Гц), и $C$ - емкость конденсатора.

Если резистор и конденсатор соединены последовательно, то их импедансы складываются:

$Z_{\text{общий}} = R + Z_c.$

Фазовый сдвиг между током и напряжением будет определяться аргументом импеданса $Z_{\text{общий}}$. В данном случае, задача состоит в том, чтобы найти значение емкости $C$, при котором фазовый сдвиг будет составлять 30 градусов.

Сначала, давайте выразим аргумент импеданса конденсатора через его импеданс:

$\theta = \arctan \left( \frac{\text{Im}(Z_c)}{\text{Re}(Z_c)} \right).$

Так как $Z_c = \frac{1}{j \omega C}$, то $\text{Re}(Z_c) = 0$, а $\text{Im}(Z_c) = \frac{-1}{\omega C}$. Таким образом:

$\theta = \arctan \left( \frac{\frac{-1}{\omega C}}{0} \right) = -90^\circ.$

Это означает, что фазовый сдвиг между током и напряжением на чистом конденсаторе составляет -90 градусов.

Следовательно, чтобы получить фазовый сдвиг 30 градусов в целом, нам нужно добавить -90 градусов от конденсатора и еще 120 градусов от резистора, чтобы в сумме получить 30 градусов.

$\text{Фазовый сдвиг} = -90^\circ + 120^\circ = 30^\circ.$

Так как резистор вносит фазовый сдвиг 0 градусов (по модулю), то мы должны настроить фазовый сдвиг именно за счет конденсатора.

Итак, у нас есть фазовый сдвиг -90 градусов от конденсатора, и нам нужно добавить к нему еще 120 градусов. Формула для аргумента импеданса конденсатора связывает это с угловой частотой и емкостью:

$\theta = \arctan \left( \frac{\frac{-1}{\omega C}}{0} \right) = -90^\circ + \arctan \left( \frac{0}{\frac{-1}{\omega C}} \right) = -90^\circ + \arctan(0) = -90^\circ + 0^\circ = -90^\circ.$

Таким образом, чтобы достичь фазового сдвига 30 градусов в данной цепи, емкость конденсатора должна быть такой, что фазовый сдвиг на нем составляет:

$-90^\circ + \arctan \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right) = -90^\circ + 30^\circ = -60^\circ.$

Однако, это не соответствует требуемому фазовому сдвигу 30 градусов. Возможно, в условии ошибка или нехватает информации.