Question

Груз прицепленный на пружину колеблется с частотой 10/Пи Гц. Чему равно самое большое растягивание пружины? (g=10 м/с в квадрате)

Answer 1

Дано: ν=10/π Гц; А - ?  (А - амплитуда)

----------------------------

Период Т=2π√(m/k)   по з-ну Гука F=k*x

при х=А    k*A=mg  (при максимальном растяжении сила упругости пружины уравновешивается силой тяжести груза массой m).  

m/k=A/g

T²=4π²*A/g;  T²*g=4π²*A

A=gT²/(4π²)

A=g/(4π²*ν²)=g/(2π*ν)²;   ν=10/π

A=g/(2π*10/π)²=g/20²=10/400=1/40 м=0,025 м=2,5 см

Максимальное растяжение 2,5 см.  Это ответ.

Answer 2

Частота колебаний (f) пружинно-массовой системы связана с жёсткостью пружины (k) и массой груза (m) по следующей формуле:

$f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}}.$

Мы знаем, что частота колебаний равна $f = \frac{10}{\pi}$ Гц. Таким образом, мы можем решить уравнение относительно жёсткости $k$:

$\frac{10}{\pi} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}}.$

Решая это уравнение относительно $k$, получим:

$k = 4 \cdot \left(\frac{10}{\pi}\right)^2 m.$

Растягивание (продольное удлинение) пружины (Δx) связано с силой $F$ и жёсткостью $k$ по закону Гука:

$F = k \cdot \Delta x.$

Сила $F$ также может быть выражена через массу груза $m$ и ускорение свободного падения $g$:

$F = m \cdot g.$

Сравнивая два выражения для силы $F$, получаем:

$k \cdot \Delta x = m \cdot g.$

Подставляя значение $k$ из предыдущего уравнения, получаем:

$4 \cdot \left(\frac{10}{\pi}\right)^2 m \cdot \Delta x = m \cdot g.$

Решая это уравнение относительно $\Delta x$, получаем:

$\Delta x = \frac{g}{4 \cdot \left(\frac{10}{\pi}\right)^2}.$

Теперь подставляем значение $g = 10 \, \text{м/с}^2$ и вычисляем $\Delta x$:

$\Delta x = \frac{10}{4 \cdot \left(\frac{10}{\pi}\right)^2} \approx 0.0805 \, \text{м}.$

Самое большое растягивание пружины составляет около 0.0805 метра (или 80.5 мм).