Question

Мяч падает с высоты 5 м без начальной скорости. Определите скорость мяча в момент приземления и скорость мяча в точке, в которой кинетическая и потенциальная энергии мяча равны

Answer 1

Закон сохранения механической энергии:

Ep + Ek = E

В начальный момент времени, когда мяч находится в высшей точке, его кинетическая энергия равна нулю, тогда уравнение закона:

Ep + Ek = Ep + 0 = Ep = E

В момент приземления потенциальная энергия мяча равна нулю, тогда:

Ep + Ek = 0 + Ek = Ek = E

Можно сделать вывод, что максимальная потенциальная (в начальный момент времени) и максимальная кинетическая (в момент приземления) равны друг другу и механической:

Ep max = Ek max = E

Тогда можем найти скорость мяча в момент приземления:

Ep max = Ek max

mgh max = mv² max/2 | : m

gh max = v² max/2

v² max = 2gh max => v max = √(2gh max) = √(2*10*5) = √100 = 10 м/с

Очевидно, что энергии будут равны тогда, когда каждая из них будет равна половине общей, а точкой, в которой это равенство произойдёт, будет точка, которая делит максимальную высоту пополам:

E/2 = Ep max/2 = Ep = Ek

mgh max/2 = mv²/2 | : m

gh max/2 = v²/2 | * 2

v² = gh max => v = √(gh max) = √(10*5) = √(25*2) = 5√2 = 5*1,41 = 7,05 = 7,1 м/с

Ответ: 10 м/с, примерно 7,1 м/с.

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать законы сохранения энергии механической системы. В данном случае, у нас есть потенциальная энергия (гравитационная) и кинетическая энергия мяча.

1. Сначала определим потенциальную энергию мяча на высоте 5 метров от поверхности земли, используя формулу для потенциальной энергии:

   Потенциальная энергия (ПЭ) = масса * ускорение свободного падения * высота

   Где:

   • Масса мяча (m) - не дана, но её можно проигнорировать, так как она отменится при расчете скорости.
   • Ускорение свободного падения (g) ≈ 9.81 м/с² (на поверхности Земли).
   • Высота (h) = 5 метров.

   ПЭ = 9.81 м/с² * 5 м = 49.05 Джоулей

2. Теперь давайте найдем скорость мяча в момент приземления, используя закон сохранения механической энергии:

   Потенциальная энергия (ПЭ) + Кинетическая энергия (КЭ) = Постоянная энергия

   На высоте 5 м ПЭ = 49.05 Джоулей (как мы вычислили выше), и на поверхности Земли ПЭ = 0.

   Таким образом, 49.05 Дж + КЭ = 0

   КЭ = -49.05 Дж

3. Теперь мы можем использовать формулу для кинетической энергии:

   КЭ = (1/2) * масса * скорость^2

   Где:

   • Масса (m) - опять же, её можно проигнорировать.
   • Скорость (v) - скорость мяча в момент приземления.

   Теперь мы можем найти скорость:

   -49.05 Дж = (1/2) * m * v^2

   v^2 = (2 * -49.05 Дж) / m

   Так как массу мяча мы не знаем, то найти конкретное значение скорости без этой информации нельзя. Однако мы можем определить, что скорость мяча в момент приземления будет равна корню из (2 * -49.05 Дж) / m.

4. Наконец, мы должны определить скорость мяча в точке, в которой кинетическая и потенциальная энергии мяча равны. Это происходит на половине высоты, то есть на 2.5 метрах над поверхностью Земли. В этой точке, потенциальная энергия и кинетическая энергия равны друг другу:

   Потенциальная энергия = Кинетическая энергия

   9.81 м/с² * 2.5 м = (1/2) * масса * скорость^2

   Теперь мы можем решить эту уравнение относительно скорости.

   24.525 Дж = (1/2) * m * скорость^2

   скорость^2 = (2 * 24.525 Дж) / m

   Аналогично, мы не можем найти конкретное значение скорости без информации о массе мяча, но можем найти отношение скорости в этой точке к скорости в момент приземления.

   скорость_в_точке / скорость_в_момент_приземления = sqrt((2 * 24.525 Дж) / m) / sqrt((2 * -49.05 Дж) / m)

   скорость_в_точке / скорость_в_момент_приземления = sqrt((24.525 Дж / -49.05 Дж))

   скорость_в_точке / скорость_в_момент_приземления = sqrt(-0.5)

   Ответ: Скорость мяча в момент приземления будет равна скорости мяча в точке, в которой кинетическая и потенциальная энергии мяча равны, и она будет корнем из -0.5, что представляет собой мнимое число. Это означает, что мяч не достигнет этой точки и не приземлится.