Question

Мат точка совершает гармон. Колебания, ур. Которых имеет вид Х=0.3Сos(P/6*t). Определить момент времени, в который Еp=7.5мДж, а возвращающая сила F=100мН

Answer 1

Дано:

x = 0,3*cos(π/6*t)

Ep = 7,5 мДж = 7,5*10⁻³ Дж

F = 100 мН = 100*10⁻³ Н

t - ?

Решение:

Вид гармонического закона:

x = х_max*cos(ω₀t)

x = 0,3*cos(π/6*t)

x_max = 0,3 м

ω₀ = π/6

Зная значение силы упругости, мы можем выразить растяжение пружины в искомый момент времени (или, другими словами, можем выразить смещение материальной точки). Зная значение потенциальной энергии пружины, мы можем выразить её жёсткость.

F = kx => x = F/k

Ep = k*x²/2 = k*(F/k)²/2 = F²/(2k) => k = F²/(2Ep) =>

=> x = F / [F²/(2Ep)] = F*2Ep/F² = 2Ep/F

Подставляем выражение координаты в уравнение:

x = х_max*cos(ω₀t)

2Ep/F = х_max*cos(ω₀t) | : х_max

2Ep/(F*x_max) = cos(ω₀t)

Чтобы выразить аргумент косинуса, нужно вычислить арккосинус выражения слева:

ω₀t = arccos [2Ep/(F*x_max)] | : ω₀

t = arccos [2Ep/(F*x_max)] : ω₀ = arccos [2*7,5*10⁻³/(100*10⁻³*0,3)] : (π/6) = arccos [15/30] : (π/6) = arccos (0,5) * 6/π = (π/3)*(6/π) = 6/3 = 2 с

Ответ: 2 с.

Answer 2

Дано: Уравнение гармонических колебаний математической точки имеет вид: x = 0.3 * cos(π/6 * t), где x - смещение точки от положения равновесия в метрах, t - время в секундах.

Также дано: Энергия потенциальная Ep = 7.5 мДж (миллиджоулей) Возвращающая сила F = 100 мН (миллиньютонов)

Мы можем использовать эти данные, чтобы определить момент времени, когда Ep равна 7.5 мДж и возвращающая сила F равна 100 мН.

Определение момента времени, когда Ep = 7.5 мДж:

Энергия потенциальная (Ep) в гармонических колебаниях может быть выражена как Ep = (1/2) * k * x^2, где k - коэффициент упругости, x - смещение точки от положения равновесия.

Мы знаем, что Ep = 7.5 мДж и x = 0.3 * cos(π/6 * t). Подставляя эти значения в уравнение, мы получим: 7.5 мДж = (1/2) * k * (0.3 * cos(π/6 * t))^2

Первым шагом, давайте переведем единицы измерения в систему СИ: 1 мДж = 0.001 Дж 7.5 мДж = 7.5 * 0.001 Дж = 0.0075 Дж

Теперь, подставляя это значение, мы получаем: 0.0075 Дж = (1/2) * k * (0.3 * cos(π/6 * t))^2

Решим это уравнение относительно k: k = (0.0075 Дж) / [(1/2) * (0.3 * cos(π/6 * t))^2]

Определение момента времени, когда F = 100 мН:

Возвращающая сила (F) в гармонических колебаниях связана с смещением точки от положения равновесия следующим образом: F = -k * x, где k - коэффициент упругости, x - смещение точки от положения равновесия.

Мы знаем, что F = 100 мН и x = 0.3 * cos(π/6 * t). Подставляя эти значения, мы получаем: 100 мН = -k * (0.3 * cos(π/6 * t))

Переведем единицы измерения в систему СИ: 1 мН = 0.001 Н 100 мН = 100 * 0.001 Н = 0.1 Н

Теперь, подставляя это значение, мы получаем: 0.1 Н = -k * (0.3 * cos(π/6 * t))

Решим это уравнение относительно k: k = (0.1 Н) / (-0.3 * cos(π/6 * t))

Определение момента времени, когда Ep = 7.5 мДж и F = 100 мН:

Теперь, чтобы определить момент времени, когда Ep = 7.5 мДж и F = 100 мН, мы должны найти такое значение времени t, которое удовлетворяет обоим уравнениям:

0.0075 Дж = (1/2) * [(0.0075 Дж) / [(1/2) * (0.3 * cos(π/6 * t))^2]] * (0.3 * cos(π/6 * t))^2

0.1 Н = [(0.1 Н) / (-0.3 * cos(π/6 * t))] * (0.3 * cos(π/6 * t))

Эти уравнения могут быть решены численными методами или использованием программного обеспечения для символьных вычислений, таких как Wolfram Alpha или MATLAB. Решение этих уравнений поможет найти значения времени, удовлетворяющие условиям Ep = 7.5 мДж и F = 100 мН.