Question

Дві кульки рухаються вздовж однієї прямої назустріч одна одній зі швидкостями, що зростають за модулем. Залежність кінетичної енергії від швидкості руху цих тіл показано на графіках. Кульки зіткнулися в момент, коли їхні кінетичні енергії були однакові й дорівнювали 4 Дж. Визнач швидкість кульок після абсолютно непружного зіткнення.

Answer 1

Ответ:

Закон збереження кінетичної енергії для абсолютно непружного зіткнення говорить нам, що сума кінетичних енергій тіл до зіткнення дорівнює сумі їх кінетичних енергій після зіткнення. Оскільки в момент зіткнення кінетичні енергії кульок були однаковими і дорівнювали 4 Дж, то:

1/2 * m1 * v1^2 + 1/2 * m2 * v2^2 = 2 * 4 Дж

де m1 та m2 - маси кульок, v1 та v2 - їхні швидкості після зіткнення.

За умовою підвищення кінетичної енергії зростає за модулем, тому можна скористатись формулою кінетичної енергії:

K = 1/2 * m * v^2

Тоді можна записати:

v1^2 = 2K1/m4

де K1 та K2 - кінетичні енергії кульок у момент зіткнення.

Таким чином, коли кульки зіткнулися, сума їх кінетичних енергій дорівнює 4 Дж. З графіку видно, що в цьому випадку їх швидкості становлять 2 м/c та 4 м/c відповідно.

Отже, маємо:

2K1/m1 + 2K2/m2 = 2 * 4 Дж

K1/m1 + K2/m2 = 4 Дж

2K1/m1 = (4 Дж - K2/m2)

4K1/m1 = 8 Дж - 2K2/m2

K1/m1 = 2 - K2/m2/2

2K2/m2/2m1 + K2/m2/m1 = 4

K2/m2 = 4m2/(2m1 + m2)

v1^2 = 2K1/m1 = 2(2 - K2/m2/2) / m1 = 4/m1 - 2K2/(m1m2)

Отже, маємо швидкості кульок після зіткнення:

v2 = √[8/(2m1/m2 + 1)]

Answer 2

Для вирішення цієї задачі необхідно розглянути кінетичну енергію кульок до зіткнення та після нього.

За даними графіками, кінетична енергія залежить від швидкості за квадратичним законом (E = mv^2 / 2).

Позначимо масу першої кульки як m1, а масу другої кульки як m2.

Перед зіткненням, кінетична енергія першої кульки дорівнює 4 Дж. Використовуючи формулу для кінетичної енергії, отримуємо: 4 = (m1 * v1^2) / 2 ---- (1)

Аналогічно, кінетична енергія другої кульки перед зіткненням також дорівнює 4 Дж: 4 = (m2 * v2^2) / 2 ---- (2)

Після абсолютно непружного зіткнення кульок, вони об'єднуються в одне тіло з масою (m1 + m2). Позначимо швидкість цього об'єднаного тіла після зіткнення як v.

Згідно з законом збереження кінетичної енергії, сума кінетичних енергій кульок до зіткнення має дорівнювати кінетичній енергії об'єднаного тіла після зіткнення: (m1 * v1^2) / 2 + (m2 * v2^2) / 2 = ((m1 + m2) * v^2) / 2

Підставимо значення кінетичної енергії до зіткнення (4 Дж) у вираз і отримаємо: (4 * m1) + (4 * m2) = ((m1 + m2) * v^2)

Розкриваємо дужки і скорочуємо на 2: 2m1 + 2m2 = (m1 + m2) * v^2

Відкидаємо спільний множник (m1 + m2): 2 = v^2

Отже, після зіткнення швидкість кульок буде дорів