Question

Помогите решить задачу. Пружинный маятник совершает гармонические колебания вдоль горизонтальной оси Ох. Определите, во сколько раз отличаются кинетическая энергия груза и потенциальная энергия пружины в момент времени, когда смещение из положения равновесия составляет х=А/3

Answer 1

Ответ: $\dfrac{E}{W} = 8$

Объяснение:

Запишем уравнение гармонических колебаний в общем виде:

$x(t) = A \sin ( \omega t + \phi_{0})$

Будим считать, что маятник, в начальный момент времени, находился в положении максимального смещения от положения равновесия. В этом случае, когда мы отпустим маятник, он начнет совершать гармонические, незатухающие колебания.

Отсюда $x(t) = A \sin ( \omega t +\dfrac{\pi }{2} )$ ⇒ $x(t) = A \cos ( \omega t)$ (1)

Мы знаем, что потенциальную энергию пружинного маятника W, в любой момент времени t, можно вычислить как kx²(t)/2, а кинетическую энергию E, как mv²(t)/2.

То-есть  $W=\dfrac{kx^{2}(t) }{2}$, но согласно уравнению (1) получим $></p> <p>Аналогично <img src=$, однако мы знаем, что $v(t) =\dfrac{d}{dt} (x(t))$

Тогда $v(t) =\dfrac{d}{dt} ( A \cos ( \omega t))$ ⇒  $v(t) =-\omega A \sin( \omega t)$, а это значит что $E = \dfrac{m\omega^{2} A^{2} \sin^{2} ( \omega t)}{2}$

Поэтому $\dfrac{E}{W} = \dfrac{m\omega^{2} A^{2} \sin^{2} ( \omega t)}{kA^{2} \cos^{2} ( \omega t)}\\}$ , так как $\dfrac{m}{k} = \dfrac{1}{\omega^{2} }$, то $\dfrac{E}{W} = \dfrac{\sin^{2} ( \omega t)}{\cos^{2} ( \omega t)}\\}$ ⇒$\dfrac{E}{W} = \dfrac{1 - \cos^{2} ( \omega t)}{\cos^{2} ( \omega t)}\\}$ (2)

Теперь определим cos²(ωt), мы знаем, что в нашем случае, в момент момент времени t растяжение пружины маятника составило А/3, тогда согласно уравнению (1) $\dfrac{A}{3} = A \cos ( \omega t)$ ⇒ $\cos ( \omega t) = \dfrac{1}{3}$, следовательно $\cos^{2} ( \omega t) = \dfrac{1}{9}$

Возвращаясь к уравнению (2) получим $\dfrac{E}{W} = \dfrac{1 - \dfrac{1}{9} }{\dfrac{1}{9} }} = 8$

Answer 2

Для решения задачи нам необходимо знать зависимости кинетической энергии (КЭ) и потенциальной энергии (ПЭ) пружинного маятника от его смещения от положения равновесия.

Для пружинного маятника, совершающего гармонические колебания, кинетическая энергия груза определяется как:

КЭ = (1/2) * m * v^2,

где m - масса груза, v - его скорость.

Потенциальная энергия пружины определяется как:

ПЭ = (1/2) * k * x^2,

где k - коэффициент жесткости пружины, x - смещение от положения равновесия.

Мы знаем, что смещение x = A/3.

Для пружинного маятника, энергия сохраняется, то есть сумма кинетической энергии и потенциальной энергии остается постоянной.

В момент времени, когда смещение составляет x = A/3, можно записать следующее равенство:

(1/2) * m * v^2 + (1/2) * k * (A/3)^2 = Постоянная.

Теперь рассмотрим момент времени, когда смещение составляет x = A/3 + δ, где δ - малое смещение.

В этом случае кинетическая энергия груза будет:

КЭ' = (1/2) * m * v'^2,

а потенциальная энергия пружины будет:

ПЭ' = (1/2) * k * (A/3 + δ)^2.

Поскольку энергия сохраняется, мы можем записать следующее равенство:

(1/2) * m * v'^2 + (1/2) * k * (A/3 + δ)^2 = Постоянная.

Теперь мы можем выразить отношение кинетической энергии и потенциальной энергии в моменте x = A/3:

КЭ/ПЭ = ((1/2) * m * v^2) / ((1/2) * k * (A/3)^2).

Для упрощения выражения отношения мы можем сократить на (1/2):

КЭ/ПЭ = (m * v^2) / (k * (A/3)^2).

Мы видим, что (A/3)^2 в числителе и знаменателе сокращаются:

КЭ/ПЭ = (m * v^2) / (k * (A/3)^2) = (m * v^2) / (k * A^2 / 9).

Теперь можно з