Question

С башни высотой 25 м горизонтально брошен камень со скоростью 15 м/с. Найти 1)сколько времени камень будет в движении;2)на каком  расстоянии от основания башни он упадет на землю;3)с какой скоростью он упадет на землю4)какой угол составит траектория камня с горизонтом в точке его падения на землю. Сопротивление воздуха не учитывать 

Answer 1

 Обозначим H=25m, v0=15 м/с, t1 - искомое время, x1 - расстояние от основания, v1 - искомая скорость, alpha - искомый угол. ^2 - квадрат, sqrt() - квадратный корень.

Введём систему координат с центром внизу башни.

Запишем систему уравнений движения по x и y:

x(t)=v0*t  (x0 в нашей СК =0, ускорение по оси х отсутствует, т.к. сопротивления воздуха нет)

y(t)=H-g*(t^2)/2 (y0=H, начальная скорость по условию только по x, ускорение равно "-g", т.к. ось Y направлена вверх), откуда и найдём всё, что нам нужно.

 

1) из второго уравнения сразу находим время:

 0=H-g*(t1^2)/2  => t1=sqrt (2*H/g) ~ 2.24 сек

 

2) Из первого уравнения, подставив t=t1, находим x1:

x1=v0*t1 = 2.24*15 ~   33.5 м

 

3) Взяв производную по времени от обоих уравнений движения, получим уравнения на компоненты скоростей:

Vx=v0 (что и так ясно)

Vy=-gt (знак минус потому что ось Y направлена вверх)

Теперь вспоминаем, что скорость - это ВЕКТОР. А надо найти, как я понял из условия, модуль скорости. Применяя теорему Пифагора, получим:

|v1| = sqrt(Vy^2+Vx^2) = sqrt((gt1)^2+(v0)^2) ~ 27 м/с

 

4) Напишем уравнение траектории:

(т.е. выразим из первого уравнения t через x , подставим во второе и получим функцию y(x)  ) :

y(x) = H - g/2*((x/v0)^2) - это парабола.

воспользуемся готовой формулой между касательной к графику функции в точке x1 и осью X:  

tg(alpha)=y'(x1) 

 Берём производную по x:

y'(x) = -gx/((v0^2), подставляем x=x1, затем берём арктангенс

alpha = arctg ( -gx1/((v0^2) ) = arctg (- 1.49) ~  124 градуса.

Напоминаю, что угол отсчитывается от оси X против часовой стрелки.

Answer 2

1) Воспользуемся формулой свободного падения h = 1/2 * g * t^2, где h - высота, g - ускорение свободного падения (9,8 м/с^2), t - время.
Подставляем известные значения и находим t:
25 = 1/2 * 9,8 * t^2
t^2 = 5/2
t = sqrt(5/2) ≈ 1,58 с

2) Горизонтальное расстояние, на котором упадет камень, равно пути, который он пройдет за это время со скоростью 15 м/с:
S = v * t
S = 15 * 1,58 ≈ 23,7 м

3) Воспользуемся формулой для скорости свободно падающего тела v = g * t:
v = 9,8 * 1,58 ≈ 15,5 м/с

4) Траектория камня будет являться параболой, угол с которой с горизонтом можно найти, используя формулу tan(α) = h/S, где α - угол, h - высота, S - горизонтальное расстояние.
tan(α) = 25/23,7
α = arctan(25/23,7) ≈ 50,7° (округляем до одного знака после запятой)