Question

угловое ускорение с течением времени изменяется по закону β= 2+3t. Начальная угловая скорость = 3 с^-1, начальное угловое положение = 2 рад. Найти выражение, определяющее угловую скорость и угол поворота как функцию времени.

Answer 1

По определению ускорения и скорости, $\beta'(t)=\omega(t);~\omega'(t)=\phi(t)$ (здесь и далее бета - угл. ускорение, омега - скорость, фи - угловое положение), значит, эти зависимость этих характеристик можно найти так:
$\omega(t)=\int \beta(t) dt+\omega(0)=\int(2+3t)dt+3=3+2t+\frac32t^2;\\ \phi(t)=\int \omega(t) dt + \phi(0)=\int (3+2t+\frac32t^2) dt +2=\frac{t^3}{2}+t^2+3t+2;$, все величины - в соответствующих единицах измерения системы СИ

Answer 2

Для решения задачи нам нужно проинтегрировать угловое ускорение β(t) дважды: первый раз, чтобы найти угловую скорость ω(t), а затем второй раз, чтобы найти угол поворота θ(t).

Интегрируя угловое ускорение β(t), получим угловую скорость ω(t):

∫β(t) dt = ∫(2 + 3t) dt = 2t + (3/2)t^2 + C1, где C1 - постоянная интегрирования.

Используя начальную угловую скорость ω(0) = 3 с^-1, найдем постоянную интегрирования C1:

ω(0) = 2(0) + (3/2)(0)^2 + C1 C1 = 3

Таким образом, угловая скорость ω(t) равна:

ω(t) = 2t + (3/2)t^2 + 3.

Интегрируя угловую скорость ω(t), получим угол поворота θ(t):

∫ω(t) dt = ∫(2t + (3/2)t^2 + 3) dt = t^2 + (3/4)t^3 + 3t + C2, где C2 - постоянная интегрирования.

Используя начальное угловое положение θ(0) = 2 рад, найдем постоянную интегрирования C2:

θ(0) = (0)^2 + (3/4)(0)^3 + 3(0) + C2 C2 = 2

Таким образом, угол поворота θ(t) равен:

θ(t) = t^2 + (3/4)t^3 + 3t + 2.

Итак, выражение, определяющее угловую скорость и угол поворота как функцию времени, имеет вид:

ω(t) = 2t + (3/2)t^2 + 3, θ(t) = t^2 + (3/4)t^3 + 3t + 2.