Question

Безграничная наклонная плоскость, составляет угол α=30 с горизонтом. На нем покоится монета. Коэффициент трения монеты о плоскость μ=√3/3. Монете сообщили начальную скорость v0, так, что вектор начальной скорости параллелен наклонной плоскости и наклонен под углом β=α=30 вниз к горизонтали. Спустя достаточно большое время, монета приобрела скорость v=3 см/с. Найдите величину скорости v0.

Answer 1

Запишем второй закон Ньютона в проекции на ось, направленную вниз вдоль плоскости (Ось x), и на ось, которая сонаправлена скорости тела в любой момент времени. Пусть угол между скоростью тела и горизонталью в произвольный момент времени составляет  β', тогда

$\displaystyle m\frac{\Delta v_x}{\Delta t} = mg\sin\alpha - \mu m g\cos\alpha\sin\beta'\\\\m\frac{\Delta v}{\Delta t} = mg\sin\alpha\sin\beta' - \mu m g\cos\alpha$


Учтите, что здесь угол бета-штрих - это функция от времени, но никак не постоянная величина. В начальный момент бета-штрих равен 30 градусов. Здесь уже сразу используется выражение для силы трения скольжения на наклонной плоскости (мю эм же косинус альфа) и корректно учтены проекции. Условие задачи и параметры подобраны так, что μ  равен тангенсу угла наклона плоскости, и это надо использовать, иначе решать задачу будет в разы сложнее. Итак, имеем

$\displaystyle m\frac{\Delta v_x}{\Delta t} = mg\sin\alpha(1-\sin\beta')\\\\ m\frac{\Delta v}{\Delta t} = mg\sin\alpha(\sin\beta' - 1) = -\displaystyle m\frac{\Delta v_x}{\Delta t}\\\\\Delta v = -\Delta v_x$

Итак, мы получили важное соотношение для приращения проекции скорости и полной скорости. Теперь подумаем. В начале полная скорость была равна v0 (ее надо найти), а в конце станет v. Проекция на ось x в начальный момент равна  v0 sinβ, а в конце будет тоже v, так как очевидно, что после прошествия большого промежутка времени скорость поперек плоскости гасится трением и остается только скорость вдоль плоскости. Поэтому, суммируя все приращения скорости мы получим

$\displaystyle \Delta v = -\Delta v_x\\ (v-v_0) = -(v-v_0\sin\beta)\\ v_0 = \frac{2v}{1+\sin\beta} = \frac{4v}{3} = 4 (m/s)$

Answer 2

Для решения задачи используем законы сохранения энергии и импульса. Поскольку монета движется по наклонной плоскости, учитываем изменение потенциальной энергии монеты и кинетической энергии системы монеты и Земли.

Из закона сохранения энергии:

mgh = (1/2)mv^2 + (1/2)Iω^2

где m - масса монеты, h - высота, на которой находится монета, v - скорость монеты на нижней точке плоскости, I - момент инерции монеты относительно оси, проходящей через центр масс монеты и перпендикулярной плоскости, на которой находится монета, ω - угловая скорость монеты вокруг этой оси.

Из закона сохранения импульса:

mv0 = mv + Iω

где v0 - начальная скорость монеты, перпендикулярная наклонной плоскости.

Поскольку начальная скорость параллельна плоскости, ω = 0, и уравнения можно записать следующим образом:

mgh = (1/2)mv^2 v0 = v + (I/m)v

Найдем момент инерции монеты относительно описанной оси. Для круглой монеты массой m радиусом r момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс монеты и перпендикулярной плоскости, на которой находится монета, равен (1/2)mr^2.

Заменив в формулах известные величины, получим:

mgh = (1/2)mv^2 v0 = v + (1/2)√3r(mg/m)v

Из условия задачи известно, что угол наклона плоскости α = 30°, а значит, sin α = 1/2, cos α = √3/2.

Выразим высоту монеты через расстояние по плоскости, на которое она пройдет, до достижения скорости v. Пусть это расстояние равно l. Тогда h = l sin α = l/2.

Выразим радиус монеты через ее массу и плотность. Пусть плотность монеты равна ρ. Тогда ее масса m = ρV, где V = (4/3)πr^3 - объем монеты. Подставим это в