Question

Найдите длины сторон прямоугольного треугольника периметр которого равен 24 см, а площадь равна 24 квадратным сантиметрам

Answer 1

Дано: a; b - катеты, с - гипотенуза прямоугольного треугольника.

          S = 24 см², Р = 24 см.

Найти: a - ?; b - ?; c - ?

Решение:

{ ab = 48

{ a² + b² = c²           =>       (a + b)² = c² + 2ab = c² + 96    (1)

{ a + b + c = 24        =>       a + b = 24 - c                          (2)

Из (1) и (2):                        (24 - c)² = c² + 96

                                          576 - 48c + c² = c² + 96

                                          48c = 576 - 96

                                          c = 480 : 48 = 10 (см)

{ a + b = 14

{ ab = 48                  

(14 - b)b = 48

b² - 14b + 48 = 0                D = 196-192 = 4

b₁ = (14-2):2 = 6 (см)                a₁ = 8 (см)

b₂ = (14+2):2 = 8 (см)               а₂ = 6 (см)

----------------------------

Ответ: катеты 6 см и 8 см, гипотенуза 10 см.

Answer 2

Давайте обозначим длины катетов прямоугольного треугольника через a и b, а длину гипотенузы - через c.

Периметр прямоугольного треугольника равен сумме длин его сторон: P = a + b + c

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения длин катетов: S = (1/2) * a * b

Так как треугольник прямоугольный, то мы можем воспользоваться теоремой Пифагора: c^2 = a^2 + b^2

Из уравнения для периметра можно выразить длину гипотенузы: c = P - a - b

Подставим это выражение для c в уравнение для теоремы Пифагора: (P - a - b)^2 = a^2 + b^2

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: P^2 - 2Pa - 2Pb + 2ab = a^2 + b^2

Также мы можем выразить длину одного из катетов, например, b, через a и P: b = P - a - c

Подставим это выражение для b в уравнение для площади: S = (1/2) * a * (P - a - c)

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: S = (1/2) * (a * P - a^2 - ac)

Теперь у нас есть два уравнения с двумя неизвестными (a и c). Можно решить систему уравнений методом подстановки или методом исключения неизвестных. Я воспользуюсь методом подстановки.

Из уравнения для площади выразим c через a и S: c = (P - a) - 2S/a

Подставим это выражение для c в уравнение для теоремы Пифагора: (P - a - ((P - a) - 2S/a))^2 = a^2 + ((P - a) - 2S/a)^2

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: 4S^2/a^2 - 4S(P - a)/a + (P - a)^2 = 0

Это квадратное уравнение относительно неизвестной a. Решим его с помощью дискриминанта:

D = (-4S(P - a))^2 - 4 * 4S^2(P - a)^2 D = 16S^2P^2 - 32SPa^2 + 16Sa^3 - 16S^2P^2 + 64S^2Pa - 64S^3 D = 16