Question

В идеальном колебательном контуре, имеющем конденсатор емко-стью 0,5 мкФ и катушку с индуктивностью 17 мГн, в начальный момент време-ни заряд конденсатора был равен 20 нКл. Написать закон изменения с течением времени разности потенциалов на обкладках конденсатора и силы тока в конту-ре, если в начальный момент времени вся энергия была сосредоточена в кон-денсаторе.

Answer 1

w=1/sqrt(L*C)=1/sqrt(17*10^-3*0,5*10^-6)=1000 рад/с  Um=q/Cm=20*10^-9/0,5*10^-6=0,4 B

U(t)=0,4*cos1000*t

Answer 2

Запишем уравнения для колебательного контура:

1. Закон Ома: $I=\frac{U}{R},$ где $I$ - сила тока в контуре, $U$ - разность потенциалов на обкладках конденсатора, $R$ - сопротивление контура.

2. Закон сохранения заряда: $Q=CU,$ где $Q$ - заряд на обкладках конденсатора, $C$ - емкость конденсатора.

3. Закон индуктивности: $U_L=-L\frac{dI}{dt},$ где $U_L$ - ЭДС самоиндукции катушки, $L$ - индуктивность катушки.

В начальный момент времени вся энергия сосредоточена в конденсаторе, т.е. энергия катушки равна нулю: $W_C = \frac{1}{2}CU^2 = \frac{1}{2} \cdot 0.5 \cdot (20 \cdot 10^{-9})^2 = 10^{-11}~Дж,$ $W_L = \frac{1}{2}LI^2 = 0.$

Таким образом, в начальный момент времени полная энергия контура равна энергии конденсатора: $W_{total}=W_C=10^{-11}~Дж$.

Запишем уравнение колебаний колебательного контура: $\frac{d^2 Q}{dt^2} + \frac{R}{L}\frac{dQ}{dt}+\frac{1}{LC}Q=0.$

При решении данного уравнения можно использовать метод комплексных амплитуд.

Обозначим $Q(t)=Ae^{i\omega t}$, где $A$ - комплексная амплитуда, $\omega$ - круговая частота.

Тогда уравнение колебаний примет вид: $-A\omega^2 e^{i\omega t} + i\omega A\frac{R}{L} e^{i\omega t} + \frac{1}{LC}A e^{i\omega t}=0.$

Разделим уравнение на $A e^{i\omega t}$ и получим квадратное уравнение для $\omega$: $\omega^2 - i\frac{R}{L}\omega + \frac{1}{LC} = 0.$

Корни этого уравнения можно найти по формуле: $\omega_{1,2} = \frac{iR}{2L} \pm \sqrt{\frac{1}{LC} - \frac{R^2}{4L^2}}.$

Заметим, что действительная часть корней равна нулю (так как в начальный момент времени вся энергия сосредоточена в