Question

Человек стоящий на скамье Жуковского, держит в руках стержень длиной l=2.5 м и массой m=8кг, расположенный вертикально вдоль оси вращения скамейки. Эта система (скамья и человек) обладает моментом инерции J=10 кг*м(кубический) и вращается с частотой n1=12 мин (в -1 степени). Определите частоту n2 вращения системы, если стержень повернуть в горизонтальное положение.

Answer 1

1)
Момент инерции стержня 
J₁ = m*L²/12 = 8*2,5²/12 ≈ 4,2 кг*м²

2) 
Запишем закон сохранения момента импульса
J*n = (J+J₁)*n₁

Отсюда 
n₁ = J*n / (J+J₁) = 10*12 / (10+4,2) = 120/14,2 ≈  8,5 (мин) ⁻¹ 
 

Answer 2

Для решения задачи необходимо использовать закон сохранения момента импульса, который гласит: момент импульса системы остается постоянным, если на систему не действуют внешние моменты.

Изначально момент импульса системы равен:

L1 = J * w1,

где w1 - угловая скорость вращения системы до поворота стержня в горизонтальное положение.

После поворота стержня момент инерции системы изменится, так как стержень перестал быть вертикальным и его масса распределится по всей системе. Новый момент инерции системы можно найти, используя формулу параллельной оси:

J2 = J1 + m * l^2,

где J1 - момент инерции системы до поворота стержня, m - масса стержня, l - длина стержня.

Таким образом, после поворота стержня момент импульса системы будет равен:

L2 = J2 * w2,

где w2 - угловая скорость вращения системы после поворота стержня в горизонтальное положение.

Из закона сохранения момента импульса следует, что L1 = L2, тогда:

J1 * w1 = J2 * w2.

Подставляя значения, получим:

J * w1 = (J + m * l^2) * w2,

откуда:

w2 = w1 * J / (J + m * l^2).

Для перевода частоты вращения из минут(-1) в рад/с необходимо умножить на 2π/60, тогда окончательное выражение для частоты вращения системы после поворота стержня будет иметь вид:

n2 = w2 * 2π/60 = w1 * J / (J + m * l^2) * 2π/60.

Подставляя значения, получим:

n2 = 12 мин(-1) * 10 кгм^3 / (10 кгм^3 + 8 кг * (2.5 м)^2) * 2π/60 ≈ 0.46 рад/с.

Таким образом, частота вращения системы после поворота стержня в горизонтальное положение будет примерно равна 0.46 рад/с.