Question

От пристани А одновременно отчалили плот и лодка. За то время, пока плот доплыл до пристани Б, лодка успела доплыть до пристани Б и вернуться в А. Во сколько раз  ее скорость относительно воды больше скорости течения?  

Answer 1

В 3 раза. 
Решение: Пусть расстояние между А и Б равно 10 км, а скорость плота (течения реки) = 2 км/ч, тогда плот преодолеет расстояние между А и Б за 5 часов. Лодке за то же время нужно еще и вернуться в А. V = ((Vл+2)+(Vл-2)) / 2, где Vл - скорость лодки, а Vт - скорость течения.

Answer 2

Пусть скорость лодки относительно воды равна V_л, а скорость течения равна V_т. Тогда скорость лодки относительно земли при движении в сторону пристани Б будет равна V_л + V_т, а при движении в обратном направлении — V_л - V_т.

При движении плота от пристани А до пристани Б лодка движется в том же направлении со скоростью V_л + V_т. При возвращении лодка движется в направлении пристани А со скоростью V_л - V_т. Обратим внимание, что скорость плота относительно земли равна нулю.

Пусть расстояние от А до Б равно L, а время, за которое плот доплывает до Б, равно t. Тогда время, за которое лодка проплывает расстояние L в направлении Б и обратно в сторону А, равно:

t' = L / (V_л + V_т) + L / (V_л - V_т)

Так как лодка успевает пройти это расстояние за время t, то:

t' = 2t

Подставляя одно выражение в другое, получаем:

L / (V_л + V_т) + L / (V_л - V_т) = 2t

Выразим из этого уравнения скорость лодки относительно воды:

V_л = L / (t * (V_л + V_т)) + L / (t * (V_л - V_т))

V_л = 2L / (t * (V_л^2 - V_т^2))

V_л * t * (V_л^2 - V_т^2) = 2L

V_л^3 * t - V_л * V_т^2 * t = 2L

V_л^3 - V_л * V_т^2 = 2L / t

V_л^2 (V_л - V_т) = 2L / t

V_л^3 / (V_л - V_т) = 2L / t

V_л^2 / V_т = 2L / (V_л * t) - V_т

V_л^2 / V_т = 2L / (V_л * t) - V_л^2 / V_т^2

V_л^2 (1/V_т + 1/(V_л * t)) = 2L / V_т^2

V_л^2 = 2L * V_т^2 / (V_л * t + V_т^2)

Отсюда видно, что отношение скорости лодки относительно воды к скорости течения равно квадратному корню из отнош