Question

. Пловец переплывает реку шириной Н. Под каким углом к течению он должен плыть, чтобы переправиться на противоположный берег в кратчайшее время? Какой путь S он проплывет и каково при этом его горизонтальное перемещение Лх? Скорость течения реки vI, скорость пловца относительно воды vz.  

Answer 1

Если нужно быстрей переплыть, значит и надо плыть по направлению, перпендикулярному к линии берега, не обращая внимание, что вода будет сносить пловца. Т.е вектор скорости пловца будет разлагаться на скорость пловца, перпендикулярно берегу и скорость течения, которая параллельно берегу.
Тогда очевидно, пловец переплывёт реку за время t=H/vz, а за это время пловца снесёт течением на Lх=vl*t=vl*H/vz.
А путь S = кв корень из суммы Н в квадрате+ Lх2  в квадрате

Answer 2

Для определения угла пловца к течению, при котором он переправится на противоположный берег в кратчайшее время, мы можем использовать закон сохранения энергии. Пловец должен выбрать направление, которое минимизирует сумму кинетической и потенциальной энергии.

Пусть угол между направлением пути пловца и направлением течения реки равен θ. Тогда горизонтальная скорость пловца будет vzcos(θ), а вертикальная - vzsin(θ). Скорость течения реки будем обозначать vI.

Общая скорость пловца будет равна (vzcos(θ) + vI) в направлении движения и (vzsin(θ)) в направлении перпендикулярном течению. При движении пловца через реку, его вертикальная координата будет меняться, а горизонтальная - оставаться постоянной. Поэтому мы можем использовать закон сохранения энергии только для вертикального движения пловца.

Закон сохранения энергии может быть записан как:

mgh + (1/2)mvz^2 = const

где m - масса пловца, g - ускорение свободного падения, h - высота начальной точки пути пловца над уровнем воды, vz - скорость пловца относительно воды.

Высота начальной точки пути пловца равна Н/2, где Н - ширина реки.

При движении пловца на противоположный берег, его вертикальная координата становится равной H/2, где H - высота противоположного берега.

Таким образом, мы можем записать уравнение сохранения энергии для вертикального движения пловца:

mg(H/2 - N/2) + (1/2)mvz^2 = mg(H/2) + (1/2)mvz^2

Упрощая, получаем:

mgH/2 - mgn/2 = mgH/2

Отсюда следует, что n = H/2, т.е. пловец должен плыть перпендикулярно течению реки.

Горизонтальное перемещение Лх будет равно времени переправы пловца умноженному на его горизонтальную скорость. Время переправы можно найти как отношение расстояния, которое необходимо проплыть, к скорости