Question

Идеальный газ с показателем адиабаты γ совершает цикл, состоящий из двух изохор и двух адиабат. Найти КПД такого цикла, если при изохорическом нагреве температура T газа возрастает в n раз, а при адиабатическом расширении объем газа V увеличивается в α раз.

Answer 1

Qн=Cp*(T2-T1)+Cv*(T3-T2); Qx=Cp*(T3-T2)+Cv*(T2-T1); T2=n*T1; T3=n*T2;

Qн=Cp*T1*(n-1)+Cv*T1*n*(n-1); Qx=Cp*T1*n*(n-1)+Cv*T1*(n-1)

КПД=1-Qx/Qн = 1 - (Cp*n+Cv)/(Cp+Cv*n) = 1 - (γ*n+1)/(γ+n)  

Answer 2

Для расчета КПД цикла необходимо знать работу, совершаемую газом за цикл и количество тепла, получаемое газом от нагревателя. Рассмотрим каждый процесс цикла отдельно:

1. Изохорический нагрев: В этом процессе объем газа остается постоянным, поэтому работа, совершаемая газом, равна нулю. Количество тепла, получаемое газом от нагревателя, равно разности внутренней энергии газа до и после процесса. Поскольку газ идеальный, то его внутренняя энергия зависит только от температуры, и разность внутренней энергии газа можно записать в виде:

Q1 = n * Cv * (T2 - T1),

где Cv - удельная теплоемкость газа при постоянном объеме, T1 - начальная температура газа, T2 - конечная температура газа после нагрева.

2. Адиабатическое расширение: В этом процессе газ расширяется без передачи тепла, поэтому количество тепла, получаемое газом от нагревателя, равно нулю. Работа, совершаемая газом, равна изменению его внутренней энергии. Для идеального газа, совершающего адиабатический процесс, справедливо соотношение:

P * V^γ = const,

где P - давление газа, V - его объем, γ - показатель адиабаты. Из этого соотношения можно выразить давление газа в начале и в конце процесса:

P1 * V1^γ = P2 * V2^γ.

Поскольку газ идеальный, то для него справедливо уравнение состояния:

P * V = n * R * T,

где R - универсальная газовая постоянная. Используя это уравнение, можно выразить начальное и конечное давления газа через начальную и конечную температуры и объемы:

P1 = n * R * T1 / V1, P2 = n * R * T2 / V2.

Подставляя эти выражения для давлений в уравнение адиабаты, получим:

V2 / V1 = (P1 / P2)^(1/γ) = (T2 / T1)^(γ/(γ-1)),

где γ / (γ-1) - это