Question

определите соотношение масс соударяющихся шаров, один из которых до столкновения покоился, если после центрального упругого удара шары разлетаются в противоположные стороны с одинаковыми скоростями

Answer 1

При упругом лобовом столкновении тел с массами M и m должны одновременно выполняться законы сохранения импульса и энергии.

Mv - mv = mv0
Mv^2/2 + mv^2/2 = mv0^2/2

Возводим в квадрат обе части первого уравнения, во втором уравнении обе части умножаем на 2 и на m
Получаем:

M^2*v^2 - 2*M*mv^2 + m^2*v^2 = m^2*v0^2
M*m*v^2 + m^2*v^2 = m^2*v0^2

Приравнивая левые части уравнений друг к другу после элементарных преобразований получаем

M*(M-3m) = 0

Это уравнение имеет одно решение, имеющее физический смысл, а именно

M = 3m

Следовательно, при соотношении масс один к трём при упругом лобовом соударении оба тела разлетаются в противоположные стороны с одинаковыми скоростями (составляющими, кстати, по модулю величину, равную половине величины скорости налетающего тела).

Answer 2

При центральном упругом соударении массы двух шаров сохраняют импульс и энергию.

Пусть масса первого шара, который до столкновения покоился, равна m1, а масса второго шара – m2.

После столкновения шары разлетаются в противоположные стороны с одинаковыми скоростями, что означает, что они получают равные по модулю импульсы.

Импульс можно выразить как произведение массы на скорость:

m1 * v1 = m2 * v2,

где v1 и v2 – скорости шаров после соударения.

Поскольку скорости имеют одинаковые модули, можно записать:

m1 * v1 = m2 * (-v2) (шары движутся в противоположных направлениях).

Так как импульсы должны быть равными по модулю, можно сказать, что:

m1 * v1 = m2 * v2,

или

m1/m2 = v2/v1.

Таким образом, соотношение масс шаров равно отношению скоростей после соударения.