Question

Из двух точек, расположенных на одной высоте H над поверхностью Земли на расстоянии l друг от друга, одновременно бросают два камня: один вертикально со скоростью v1, а другой горизонтально со скоростью v2, направленной к начальному положению первого камня. Каково минимальное расстояние между камнями в процессе движения?

Answer 1

До момента падения в системе отсчета, движущейся вниз с ускорением g относительно поверхности земли камни движутся по двум прямым
координата первого у=v1*t
координата второго х=l-v2t
расстояние корень((v1*t)^2+(l-v2t)^2)
производная равна нулю при (v1*t)*v1-(l-v2*t)*v2=0 при t=v2*l/(v1^2+v2^2)
минимальное расстояние корень((v1*t)^2+(l-v2t)^2) = корень((v1*v2*l/(v1^2+v2^2))^2+(l-v2^2*l/(v1^2+v2^2))^2) = корень((v1*v2*l/(v1^2+v2^2))^2+(v1^2*l/(v1^2+v2^2))^2) = l*v1/корень(v1^2+v2^2) - это ответ

Answer 2

Для решения этой задачи можно использовать законы горизонтального и вертикального движения.

При горизонтальном движении камня со скоростью v2 его горизонтальная координата будет меняться пропорционально времени, прошедшему с момента броска. Пусть t будет временем, прошедшим с момента броска, тогда горизонтальная координата камня будет x = v2 * t.

Вертикальное движение камня со скоростью v1 можно рассмотреть с использованием уравнения свободного падения. Высота камня над поверхностью Земли будет изменяться по формуле H = v1 * t - (1/2) * g * t^2, где g - ускорение свободного падения.

Найдем время t, когда высота камня над поверхностью Земли равна H. Для этого подставим H в уравнение свободного падения и решим полученное квадратное уравнение:

H = v1 * t - (1/2) * g * t^2

Приведем это уравнение к виду:

(1/2) * g * t^2 - v1 * t + H = 0

Решим его с помощью квадратного корня:

t = (v1 ± √(v1^2 - 2 * g * H)) / g

Минимальное расстояние между камнями достигается в момент времени t, когда вертикальные координаты обоих камней равны H. В этот момент времени горизонтальная координата второго камня будет x = v2 * t.

Таким образом, минимальное расстояние между камнями будет равно |x - l|, где l - исходное расстояние между камнями.

Заметим, что если v1^2 - 2 * g * H < 0, то камень не достигнет высоты H, поэтому такие случаи следует исключить из рассмотрения.

Итак, минимальное расстояние между камнями будет равно:

|x - l| = |v2 * t - l|

где t = (v1 ± √(v1^2 - 2 * g * H)) / g, и v1^2 - 2 * g * H >= 0.

Это выражение позволяет вычислить минимальное расстояние между камнями в процессе движения.