Question

Вовремя свободного падения стержня АВ его центр С движется с постоянным ускорением g, а стержень вращается в вертикальной плоскости со скоростью w=(1/6)*pi. Длинна стержня L. В начальный момент стержень горизонтальный. Найти линейную скорость точек А и В в момент времени t=2 c

Answer 1

Так как центр движется с ускорением g, то он неподвижен и вращение осуществляется относительно него

Скорость точек будет векторно складываться из скорости в плоскости вращения и скорости падения. Модуль вектора скорости падения в момент t равен $\frac{gt^{2}}{2}$; Линейная скорость при движении по окружности связана с угловой соотношением $\omega R=v$

Результирующие вектора скоростей A и B - это две различные диагонали соответствующих параллелограммов, которые они образуют при сложении векторов.

Угол α, между горизонтом и стержнем, равен по условию t*w=(2/6)pi = pi/3=60°; Значит тупой угол параллелограмма равен 90°+30°=120°.

По теореме косинусов: $v=\sqrt{(\frac{gt^{2}}{2})^{2}+(\omega R)^{2}-2\times \frac{gt^{2}}{2}\times \omega R\times \cos \frac{2\pi}{3}}$; Учитывая, что R=L/2 и упрощая, получаем: $v=\sqrt{400+\frac{\pi^{2} L^{2}}{144}+\frac{5\pi L}{3}}$ (приняли, что g=10);

Для второй точки: $v=\sqrt{(\frac{gt^{2}}{2})^{2}+(\omega R)^{2}-2\times \frac{gt^{2}}{2}\times \omega R\times \cos \frac{\pi}{3}}$;

Упрощая: $v=\sqrt{400+\frac{\pi^{2}L^{2}}{144}-\frac{5\pi L}{3}}$

Answer 2

Для решения данной задачи воспользуемся формулой для линейной скорости точек на вращающемся теле:

v = r * ω,

где v - линейная скорость точки, r - расстояние от центра вращения до точки, ω - угловая скорость.

В начальный момент времени стержень горизонтальный, поэтому расстояние от центра вращения до точек A и B равно L/2.

Также нам дано, что угловая скорость стержня w = (1/6)π.

Подставляя значения в формулу, получаем:

v_A = (L/2) * w = (L/2) * (1/6)π = (L/12)π,

v_B = (L/2) * w = (L/2) * (1/6)π = (L/12)π.

Таким образом, линейные скорости точек A и B в момент времени t = 2 секунды будут равны (L/12)π.