Question

Кинетическая энергия электрона равна удвоенной энергии покоя. Во сколько раз изменится длина волны де Бройля λ, если кинетическая энергия электрона уменьшится вдвое?

Answer 1

Длина волны де Бройля равна: $\lambda = \frac{h}{p}$, где h - постоянная Планка, а p - импульс частицы.

Т.к. кинетическая энергия электрона больше его энергии покоя или $E_{kin}>E_0$, то необходимо рассматривать электрон как релятивистскую частицу.

Энергия релятивистской частицы равна: $E = E_0 + E_{kin} = c\sqrt{p^2 + m^2c^2}$, тогда ее импульс:

$p = \sqrt{\frac{E^2}{c^2}-m^2c^2} = \frac{\sqrt{E_0^2+2E_0E_{kin}+E_{kin}^2 -m^2c^4}}{c}= \frac{\sqrt{m^2c^4+2E_0E_{kin}+E_{kin}^2 -m^2c^4}}{c}=\frac{\sqrt{2E_0E_{kin}+E_{kin}^2}}{c}$

Подставляем в выражение для длины волны де Бройля. Получаем:

$\lambda = \frac{hc}{\sqrt{2E_0E_kin + E_{kin}^2}}$

Для электрона, у которого $E_{kin}=2E_0$, $\lambda_1 = \frac{hc}{\sqrt{2E_0 \cdot 2E_0 + 4E_0^2}} = \frac{hc}{2E_0\sqrt{2}}$

Если кинетическая энергия уменьшится вдвое, то $E_{kin}=E_0$, а $\lambda_2 = \frac{hc}{\sqrt{2E_0 \cdot E_0 + E_0^2}} = \frac{hc}{E_0\sqrt{3}}$

Вычислим, во сколько раз увеличится длина волны де Бройля:

$\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{hc \cdot 2 E_0 \sqrt{2}}{E_0 \sqrt{3} \cdot hc} = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{2}} = 1,6$

Ответ: длина волны увеличится в 1,6 раза.

Answer 2

Длина волны де Бройля (λ) связана с кинетической энергией электрона (E) следующим образом:

λ = h / √(2mE),

где h - постоянная Планка, m - масса электрона, E - кинетическая энергия электрона.

По условию задачи, кинетическая энергия электрона уменьшается вдвое. Пусть изначальная кинетическая энергия электрона равна E, а после уменьшения она становится E/2.

Используя формулу для длины волны де Бройля, мы можем сравнить изменение длины волны в этих двух случаях:

Δλ / λ = (√(2mE/2) - √(2mE)) / √(2mE),

Δλ / λ = (√(mE) - √(2mE)) / √(2mE).

Чтобы упростить выражение, давайте возьмем квадратный корень из mE как общий множитель:

Δλ / λ = (√(mE) - √(2mE)) / √(2mE), Δλ / λ = (√m - √(2m)) / √2√E.

Теперь, чтобы узнать во сколько раз изменится длина волны де Бройля (λ), мы должны вычислить отношение новой длины волны (λ') к изначальной длине волны (λ):

Δλ / λ = (√m - √(2m)) / √2√E, λ' / λ = 1 / (1 - (√m - √(2m)) / √2√E).

Таким образом, длина волны де Бройля изменится в обратной пропорции к разности квадратных корней массы электрона (√m и √(2m)) и в зависимости от обратного квадратного корня от кинетической энергии электрона (√E). Вычисление точного числового значения требует конкретных значений массы электрона и кинетической энергии, которые не указаны в задаче.