Question

Если участок электрической цепи представляет собой бесконечное число параллельно соединенных сопротивлений, величины которых образуют последовательность: r, qr, q^2r...q^nr...(q>1), то эквивалентное сопротивление R такой цепи равно. Желательно с решением

Answer 1

Попробуем "угадать" решение:
Для одного

1/R₁ = 1/r

Для двух:
1/R₂ = 1 / r + 1/(q*r) 

Для трех:
1/R₃ = 1 / r + 1/(q*r) + 1/ (q²*r) 

 Для n ⁻
1/Rn = 1 / r + 1/(q*r) + 1/ (q²*r) + ... + 1 / (qⁿ⁻¹*r)

Имеем бесконечную геометрическую прогрессию со знаменателем
 (1/q)<1, сумма членов которой:

1/R = b1 / (1-1/q)
R = (1-1/q) / b1 = (1-1/q)*r

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся формулой для расчета эквивалентного сопротивления в параллельном соединении резисторов.

Пусть R_eq обозначает эквивалентное сопротивление цепи, а r_n обозначает сопротивление n-го резистора в цепи.

В параллельном соединении резисторов справедливо следующее уравнение:

1/R_eq = 1/r_1 + 1/r_2 + 1/r_3 + ...

Применяя это уравнение к данной цепи, имеем:

1/R_eq = 1/r + 1/(qr) + 1/(q^2r) + ...

Мы можем заметить, что каждое последующее слагаемое в знаменателе является предыдущим слагаемым, умноженным на q. Таким образом, можно записать общую формулу для слагаемого:

1/(q^nr) = (1/q^n) * (1/r)

Теперь мы можем переписать уравнение для 1/R_eq следующим образом:

1/R_eq = (1/r) + (1/q) * (1/r) + (1/q^2) * (1/r) + ...

Мы можем факторизовать (1/r) в каждом слагаемом:

1/R_eq = (1/r) * (1 + 1/q + 1/q^2 + ...)

Теперь у нас есть бесконечная геометрическая прогрессия в скобках:

1 + 1/q + 1/q^2 + ... = 1/(1 - 1/q)

С учетом этого, мы можем переписать уравнение для 1/R_eq:

1/R_eq = (1/r) * (1/(1 - 1/q))

Теперь найдем общий знаменатель в правой части уравнения:

1/(1 - 1/q) = q/(q - 1)

Подставим это обратно в уравнение:

1/R_eq = (1/r) * (q/(q - 1))

Теперь можем сократить q из числителя и знаменателя:

1/R_eq = 1/(r - r/q)

Так как q > 1, можно записать r/q как r*q^(-1):

1/R_eq = 1/(r - r*q^(-1))

Упрощая выражение, получаем:

1/R_eq = 1/(r*(1 - 1/q))

Далее можем перевернуть обе стороны уравнения:

R_eq = r*(1 - 1/q)

Таким образом, эквивалентное сопротивление R для данной цепи равно:

R_eq = r*(1 - 1/q)

где q > 1 и r - начальное сопротивление.