Question

У стены стоит лестница. Коэффициент трения лестницы о стену равен μ1 = 0,4, коэффициент трения лестницы о землю равен μ2 = 0,5. Центр тяжести лестницы находится в ее середине. а) Определить наимень- ший угол ϕ, который лестница может образовать с горизонталью, не падая.

Answer 1

Нарисуем силы(см рисунок)

векторная сумма сил рана 0

Fт+N1+N2+Fтр1+Fтр2=0

проекции на оси 

на ох $N1-Ftr2=0$

на оу $-Ft+N2+Ftr1=0$

используем правило моментов

$\sum M=0$
момент силы относительно точки
О1 точки опоры  лестницы о землю

$mg \frac{l}{2} cos \alpha -\mu 2 N2 l cos \alpha -N2lsin \alpha =0$

объединяем в систему 3 уравнения и решаем

$N1=\mu 2 N2$

$mg=N2+\mu 1N1$

$N1=N1/\mu 2$

$mg=N1(1/\mu 2+\mu 1)$

и в уравнение моментов

$N1(1/\mu 2+\mu 1) \frac{l}{2} cos \alpha -\mu 1 N1 l cos \alpha -N1lsin \alpha =0$

$(1/\mu 2+\mu 1) \frac{1}{2} cos \alpha -\mu 1 cos \alpha -sin \alpha =0$

$( \frac{1}{2\mu2}+ \frac{1}{2} \mu1 -\mu1)cos\alpha -sin \alpha =0$

$( \frac{1}{2\mu2}- \frac{1}{2} \mu1 )cos\alpha =sin \alpha$

$tg \alpha =( \frac{1}{2\mu2}- \frac{1}{2} \mu1 )= \frac{1-\mu2\mu1}{2 \mu2}$

$tg \alpha = \frac{1-0.4*0.5}{2*0.5} =0.8$

$\alpha =38,65$ ответ