Question

Доказать, что произведение целых чисел равно нулю тогда и только тогда, когда по крайней мере один из сомножителей равен нулю.

Answer 1

Для доказательства этого утверждения, мы можем воспользоваться принципом индукции.

Базовый шаг: Проверим, что утверждение верно для случая, когда произведение двух целых чисел равно нулю. Если один из сомножителей равен нулю, то произведение будет нулем. Это очевидно.

Предположение индукции: Предположим, что утверждение верно для произведения k целых чисел.

Индукционный шаг: Докажем, что утверждение верно для произведения (k+1) целых чисел.

Предположим, что произведение k целых чисел равно нулю. То есть, a1 * a2 * ... * ak = 0.

Теперь рассмотрим произведение (k+1) целых чисел: a1 * a2 * ... * ak * ak+1.

Если ak+1 = 0, то произведение будет равно нулю, так как ноль умноженный на любое число равен нулю.

Если же ak+1 ≠ 0, то по предположению индукции произведение a1 * a2 * ... * ak ≠ 0. Так как ak+1 ≠ 0, то произведение (a1 * a2 * ... * ak) * ak+1 ≠ 0.

Таким образом, мы доказали, что если произведение k целых чисел равно нулю, то произведение (k+1) целых чисел также равно нулю.

Исходя из принципа индукции, мы можем заключить, что утверждение верно для любого произведения целых чисел. То есть, произведение целых чисел равно нулю тогда и только тогда, когда по крайней мере один из сомножителей равен нулю.