Question

СРОЧНО!!!!!!50 БАЛЛОВ найдите сумму наибольшего и наименьшего значений функции у=х+16/х на промежутке [2;8]

Answer 1

Для того чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции \( y = \frac{x + 16}{x} \) на интервале [2; 8], нужно сначала найти производную функции и найти ее нули в указанном интервале.

Шаг 1: Найдем производную функции \( y = \frac{x + 16}{x} \). Используем правило дифференцирования частного:

\[ y = \frac{x + 16}{x} = x^{-1} + 16x^{-1} \]

\[ y' = -x^{-2} - 16x^{-2} = -\frac{1}{x^2} - \frac{16}{x^2} = -\frac{17}{x^2} \]

Шаг 2: Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

\[ -\frac{17}{x^2} = 0 \]

Это уравнение не имеет решения, поскольку -17 никогда не равно нулю. Это означает, что у функции нет критических точек в интервале [2; 8].

Шаг 3: Найдем значения функции на концах интервала [2; 8].

Подставим значения \( x = 2 \) и \( x = 8 \) в исходную функцию:

При \( x = 2 \): \[ y = \frac{2 + 16}{2} = \frac{18}{2} = 9 \]

При \( x = 8 \): \[ y = \frac{8 + 16}{8} = \frac{24}{8} = 3 \]

Таким образом, наибольшее значение функции равно 9, а наименьшее значение функции равно 3 на интервале [2; 8].

Ответ: Сумма наибольшего и наименьшего значений функции \( y = \frac{x + 16}{x} \) на промежутке [2; 8] равна \( 9 + 3 = 12 \).