Question

Исследовать функцию и построить график f(x)=x^+3x-4/x-2 x - во второй степени помогите решить, сделать полное исследование функции

Answer 1

Конечно, помогу разобраться с этой функцией! Давайте начнем с того, чтобы разложить выражение \( f(x) = \frac{x^3 + 3x - 4}{x^2 - 2x} \) и затем проанализируем её свойства.

Сначала проведем деление многочленов \(x^3 + 3x - 4\) на \(x^2 - 2x\). Для этого воспользуемся делением с остатком:

\[ \begin{align*} x^3 + 3x - 4 &= (x^2 - 2x)(x) + (4x - 4) \\ &= x^3 - 2x^2 + 4x - 4 \\ \text{остаток: } &4x - 4 \end{align*} \]

Таким образом, функцию можно переписать как \( f(x) = x + \frac{4x - 4}{x^2 - 2x} \).

Теперь проведем полное исследование функции \( f(x) = x + \frac{4x - 4}{x^2 - 2x} \):

1. Найдем область определения:

Функция имеет ограничение в знаменателе, поэтому выражение \(x^2 - 2x\) не должно быть равно нулю:

\[x^2 - 2x \neq 0\]

Решим это неравенство:

\[x(x - 2) \neq 0\]

Отсюда получаем, что \(x \neq 0\) и \(x \neq 2\) для того, чтобы знаменатель не обращался в нуль.

2. Найдем точки пересечения с осями координат:

- Пересечение с осью OX (у = 0): \[0 + \frac{4 \cdot 0 - 4}{0 - 0} = 0 - \frac{4}{0}\] Здесь у нас возникает деление на ноль, поэтому функция не пересекает ось OX.

- Пересечение с осью OY (x = 0): \[f(0) = 0 + \frac{4 \cdot 0 - 4}{0^2 - 2 \cdot 0} = 0 - \frac{4}{0}\] Также здесь получается деление на ноль, значит, функция не пересекает ось OY.

3. Найдем вертикальные асимптоты:

Функция имеет вертикальную асимптоту там, где знаменатель обращается в нуль (если числитель не обращается в нуль). Наш знаменатель \(x^2 - 2x\) обращается в нуль при \(x = 0\) и \(x = 2\), но мы уже исключили эти точки из области определения. Значит, у нас нет вертикальных асимптот.

4. Найдем горизонтальные асимптоты:

Горизонтальной асимптоты не будет, так как степень числителя не меньше степени знаменателя (числитель имеет степень 1, а знаменатель имеет степень 2).

5. Найдем точки экстремума:

Для нахождения экстремумов нужно взять производную функции и приравнять её к нулю:

\[f'(x) = 1 - \frac{4x - 4}{(x^2 - 2x)^2} = 0\]

Это уравнение может быть сложным для решения в общем виде, однако можно провести анализ поведения функции в окрестности значений \(x = 0\) и \(x = 2\), где есть разрывы.

6. Найдем интервалы возрастания и убывания:

Проведем анализ знаков производной в интервалах между разрывами.

7. Найдем промежутки выпуклости и вогнутости:

Для этого нужно найти вторую производную и проанализировать её знак.

8. Построим график:

Используя все полученные данные, можно построить приближенный график функции, учитывая разрывы и точки интереса, полученные в ходе анализа.

Исследование функции этого типа может быть сложным из-за разрывов и деления на ноль, но подход, который я описал, поможет лучше понять её характеристики.