Question

Найти производную функции е^5х Sin(2x+1) 2/x^2

Answer 1

Давайте найдем производную функции \( f(x) = e^{5x} \cdot \sin(2x+1) + \frac{2}{x^2} \).

Для этого воспользуемся правилами дифференцирования. Обозначим каждый член функции для удобства:

\[ f(x) = u \cdot v + w, \]

где \( u = e^{5x} \), \( v = \sin(2x+1) \), и \( w = \frac{2}{x^2} \).

Теперь применим правило производной произведения для первого члена \( u \cdot v \):

\[ (u \cdot v)' = u'v + uv'. \]

Вычислим производные:

1. \( u' \) - производная от \( u \) по \( x \): \[ u' = 5e^{5x}. \]

2. \( v' \) - производная от \( v \) по \( x \): \[ v' = \cos(2x+1) \cdot 2. \]

Теперь подставим все значения:

\[ f'(x) = (5e^{5x}) \cdot \sin(2x+1) + e^{5x} \cdot (\cos(2x+1) \cdot 2) + w', \]

где \( w' \) - производная от \( w \) по \( x \).

Для третьего члена \( w = \frac{2}{x^2} \), используем правило для производной частного:

\[ (w)' = \frac{(2 \cdot x^2)' - 2 \cdot (x^2)'}{(x^2)^2}. \]

1. \( (2 \cdot x^2)' \) - производная от \( 2 \cdot x^2 \) по \( x \): \[ (2 \cdot x^2)' = 4x. \]

2. \( (x^2)' \) - производная от \( x^2 \) по \( x \): \[ (x^2)' = 2x. \]

Подставим значения:

\[ w' = \frac{4x - 2 \cdot 2x}{x^4} = \frac{4x - 4x}{x^4} = 0. \]

Теперь подставим все значения в выражение для производной функции:

\[ f'(x) = 5e^{5x} \cdot \sin(2x+1) + 2e^{5x} \cdot \cos(2x+1) + 0. \]

Итак, производная функции \( f(x) \) равна:

\[ f'(x) = 5e^{5x} \cdot \sin(2x+1) + 2e^{5x} \cdot \cos(2x+1). \]