Question

Интеграл(sin 3x+cos 5x)dx

Answer 1

Давайте рассмотрим интеграл \(\int (\sin(3x) + \cos(5x)) \, dx\).

Для нахождения интеграла, мы будем использовать метод интегрирования по частям. Формула интегрирования по частям выглядит следующим образом:

\[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \]

где \(u\) и \(v\) - это функции переменной \(x\), и \(du\) и \(dv\) - их дифференциалы.

Выберем:

\[ u = \sin(3x) \quad \Rightarrow \quad du = 3\cos(3x) \, dx \]

\[ dv = \cos(5x) \quad \Rightarrow \quad v = \frac{1}{5}\sin(5x) \]

Теперь применим формулу интегрирования по частям:

\[ \int (\sin(3x) + \cos(5x)) \, dx = uv - \int v \, du \]

\[ = \sin(3x) \cdot \frac{1}{5}\sin(5x) - \int \frac{1}{5}\sin(5x) \cdot 3\cos(3x) \, dx \]

Упростим выражение:

\[ = \frac{1}{5}\sin(3x)\sin(5x) - \frac{3}{5}\int \sin(5x)\cos(3x) \, dx \]

Теперь рассмотрим оставшийся интеграл \(\int \sin(5x)\cos(3x) \, dx\). Для его вычисления воспользуемся методом подстановки.

Пусть \(u = \sin(5x)\), тогда \(du = 5\cos(5x) \, dx\). Также, пусть \(dv = \cos(3x) \, dx\), тогда \(v = \frac{1}{3}\sin(3x)\).

Применяем формулу интегрирования по частям:

\[ = \frac{1}{5}\sin(3x)\sin(5x) - \frac{3}{5} \left( uv - \int v \, du \right) \]

\[ = \frac{1}{5}\sin(3x)\sin(5x) - \frac{3}{5} \left( \sin(5x) \cdot \frac{1}{3}\sin(3x) - \int \frac{1}{3}\sin(3x) \cdot 5\cos(5x) \, dx \right) \]

Упростим дальше:

\[ = \frac{1}{5}\sin(3x)\sin(5x) - \frac{1}{5}\sin(3x)\sin(5x) + \frac{1}{5}\int 5\cos(5x) \cdot \sin(3x) \, dx \]

\[ = \frac{1}{5} \int 5\cos(5x) \cdot \sin(3x) \, dx \]

Теперь рассмотрим оставшийся интеграл. Для его вычисления воспользуемся снова методом интегрирования по частям:

Пусть \(u = \cos(5x)\), тогда \(du = -5\sin(5x) \, dx\). Также, пусть \(dv = \sin(3x) \, dx\), тогда \(v = -\frac{1}{3}\cos(3x)\).

Применяем формулу интегрирования по частям:

\[ = \frac{1}{5} \int 5\cos(5x) \cdot \sin(3x) \, dx \]

\[ = \frac{1}{5} \left( uv - \int v \, du \right) \]

\[ = \frac{1}{5} \left( -\cos(5x) \cdot \frac{1}{3}\cos(3x) - \int \left(-\frac{1}{3}\cos(3x)\right) \cdot (-5\sin(5x)) \, dx \right) \]

Упростим выражение:

\[ = -\frac{1}{15}\cos(5x)\cos(3x) + \frac{5}{15}\int \cos(3x) \cdot \sin(5x) \, dx \]

Теперь рассмотрим оставшийся интеграл. Для его вычисления снова воспользуемся методом интегрирования по частям:

Пусть \(u = \cos(3x)\), тогда \(du = -3\sin(3x) \, dx\). Также, пусть \(dv = \sin(5x) \, dx\), тогда \(v = -\frac{1}{5}\cos(5x)\).

Применяем формулу интегрирования по частям:

\[ = -\frac{1}{15}\cos(5x)\cos(3x) + \frac{5}{15} \left( uv - \int v \, du \right) \]

\[ = -\frac{1}{15}\cos(5x)\cos(3x) + \frac{1}{3} \left( \cos(3x) \cdot \frac{1}{5}\cos(5x) - \int \left(-\frac{1}{5}\cos(5x)\right) \cdot (-3\sin(3x)) \, dx \right) \]

Упростим выражение:

\[ = -\frac{1}{15}\cos(5x)\cos(3x) + \frac{1}{15}\cos(3x)\cos(5x) + \frac{3}{5}\int \sin(3x) \cdot \cos(5x) \, dx \]

Теперь подставим это обратно в исходный интеграл:

\[ \frac{1}{5}\sin(3x)\sin(5x) - \frac{1}{5}\sin(3x)\sin(5x) + \frac{1}{5} \int 5