Question

Найдите сумму всех трёхзначных чисел, делящихся на 17 с остатком 11

Answer 1

Чтобы найти сумму всех трехзначных чисел, которые делятся на 17 с остатком 11, давайте разберемся с задачей.

Числа, делящиеся на 17 с остатком 11, можно представить в виде \(17n + 11\), где \(n\) - целое число. Также, чтобы получить трехзначные числа, мы можем ограничить диапазон для \(n\). Трехзначные числа начинаются с 100 и заканчиваются 999, поэтому мы можем записать:

\[ 100 \leq 17n + 11 \leq 999 \]

Теперь давайте найдем минимальное и максимальное значение \(n\), удовлетворяющее этому неравенству:

\[ 100 \leq 17n + 11 \] \[ 89 \leq 17n \] \[ 5.235 \leq n \]

\[ 17n + 11 \leq 999 \] \[ 17n \leq 988 \] \[ 58 \leq n \]

Таким образом, значения \(n\) могут принимать значения от 6 до 58 включительно.

Теперь, чтобы найти сумму этих чисел, мы можем воспользоваться формулой для суммы арифметической прогрессии:

\[ S = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) \]

где \(S\) - сумма, \(n\) - количество членов в последовательности, \(a_1\) - первый член, \(a_n\) - последний член.

В нашем случае:

\[ n = 58 - 6 + 1 = 53 \] \[ a_1 = 17 \cdot 6 + 11 = 113 \] \[ a_n = 17 \cdot 58 + 11 = 995 \]

Теперь вычислим сумму:

\[ S = \frac{53}{2} \cdot (113 + 995) = 28 \cdot 1108 = 31064 \]

Итак, сумма всех трехзначных чисел, делящихся на 17 с остатком 11, равна 31064.