Question

стрелок 5 раз стреляет по мишени.вероятность попадания 0,9. найдите вероятность того что первые 3 раза попал в мишени а последние 2 промахнулся

Answer 1

Давайте рассмотрим эту задачу с использованием биномиального распределения, так как у нас есть серия независимых испытаний с двумя возможными исходами (попадание или промах). В данном случае, успехом будет считаться попадание в мишень.

Обозначим: - \( n \) - общее количество испытаний (в данном случае, 5 выстрелов), - \( p \) - вероятность успеха (попадания в мишень, равная 0,9), - \( q \) - вероятность неудачи (промаха, равная \( 1 - p \)), - \( k \) - количество успехов (в данном случае, первые 3 выстрела).

Тогда вероятность \( P(X = k) \) того, что произойдет \( k \) успехов при \( n \) испытаниях, определяется формулой биномиального распределения:

\[ P(X = k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k} \]

где \( C_n^k \) - количество сочетаний из \( n \) по \( k \), а \( p^k \cdot q^{n-k} \) - вероятность \( k \) успехов и \( (n-k) \) неудач.

В данном случае \( n = 5 \), \( p = 0,9 \), \( q = 1 - p = 0,1 \) и \( k = 3 \).

\[ P(X = 3) = C_5^3 \cdot (0,9)^3 \cdot (0,1)^2 \]

Вычислим каждый компонент:

\[ C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10 \]

\[ (0,9)^3 = 0,729 \]

\[ (0,1)^2 = 0,01 \]

Теперь подставим все значения в формулу:

\[ P(X = 3) = 10 \cdot 0,729 \cdot 0,01 \]

\[ P(X = 3) = 0,0729 \]

Таким образом, вероятность того, что первые 3 выстрела попали в мишень, а последние 2 промахнулись, составляет 0,0729 или 7,29%.