Question

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 82см, а его площадь 720см2. Найдите катеты треугольника.

Answer 1

Для решения этой задачи воспользуемся формулами для площади прямоугольного треугольника и его гипотенузы.

Площадь прямоугольного треугольника можно выразить двумя способами:

1. По формуле \( S = \frac{1}{2} \times a \times b \), где \( S \) - площадь треугольника, а \( a \) и \( b \) - длины катетов.

2. Используя формулу для прямоугольного треугольника, где площадь равна половине произведения длин катетов: \( S = \frac{1}{2}ab \).

Дано, что площадь треугольника \( S = 720 \) см², а гипотенуза \( c = 82 \) см.

Из формулы площади через катеты, \( S = \frac{1}{2}ab \), мы имеем: \[ 720 = \frac{1}{2}ab \] \[ ab = 720 \times 2 = 1440 \] (1)

Также, у нас есть формула для гипотенузы прямоугольного треугольника: \[ c^2 = a^2 + b^2 \] \[ 82^2 = a^2 + b^2 \] \[ 6724 = a^2 + b^2 \] (2)

Теперь у нас есть две уравнения:

1) \( ab = 1440 \) (из формулы площади) 2) \( a^2 + b^2 = 6724 \) (из формулы гипотенузы)

Нам нужно решить эту систему уравнений, чтобы найти значения катетов \( a \) и \( b \).

К счастью, существует несколько способов решить эту задачу. Один из них - перебор возможных пар чисел \( a \) и \( b \), которые удовлетворяют обоим уравнениям.

Мы ищем пару целых чисел \( a \) и \( b \), произведение которых равно 1440, а их квадраты в сумме дают 6724. Это может быть, например, 36 и 40 (так как их произведение равно 1440, а сумма их квадратов равна 6724).

Таким образом, длины катетов прямоугольного треугольника равны 36 см и 40 см.