Question

Найдите точку минимума функции y=(x-9)^2e^2x-1

Answer 1

Для нахождения точки минимума функции y = (x-9)^2e^(2x-1), мы можем использовать метод дифференцирования. Для начала, возьмем производную функции по переменной x.

y' = d/dx((x-9)^2e^(2x-1))

Применим правило производной произведения функций:

y' = 2(x-9)e^(2x-1) + (x-9)^2e^(2x-1)(2)

Упростим это выражение:

y' = 2(x-9)e^(2x-1) + 2(x-9)^2e^(2x-1)

Теперь нам нужно найти точку, в которой производная равна нулю. Решим уравнение:

2(x-9)e^(2x-1) + 2(x-9)^2e^(2x-1) = 0

Мы можем упростить это уравнение, разделив обе части на 2e^(2x-1):

(x-9) + (x-9)^2 = 0

Раскроем квадрат:

x - 9 + x^2 - 18x + 81 = 0

x^2 - 17x + 72 = 0

Теперь нам нужно решить это квадратное уравнение. Мы можем использовать квадратное уравнение, чтобы получить два возможных значения для x:

x = (-(-17) ± √((-17)^2 - 4(1)(72))) / (2(1))

x = (17 ± √(289 - 288)) / 2

x = (17 ± √1) / 2

x = (17 ± 1) / 2

Таким образом, получаем два возможных значения для x: x = 9 и x = 8.

Теперь, чтобы найти соответствующие значения y, мы можем подставить эти значения в исходную функцию:

Для x = 9:

y = (9-9)^2e^(2(9)-1) = 0

Для x = 8:

y = (8-9)^2e^(2(8)-1) = e^(15)

Таким образом, точка минимума функции находится в точке (8, e^(15)), где e - это число Эйлера, приближенно равное 2.71828.