Question

Даны вектора А(-3:5), Б(4:6), С(2:-3), Д(6:-10). Какие из них являются коллинеарными? Варианты: а) А и Б. б) А и Д. в) Б и С. г)С и Д.

Answer 1

Для того чтобы определить, являются ли векторы коллинеарными, нужно проверить, можно ли один из них получить умножением другого на константу. Два вектора называются коллинеарными, если они параллельны или сонаправлены.

Векторы \( \mathbf{A}(-3, 5) \) и \( \mathbf{Б}(4, 6) \) являются коллинеарными, если существует константа \( k \), такая что \( \mathbf{A} = k \cdot \mathbf{Б} \). Рассмотрим:

\[ k \cdot \mathbf{Б} = k \cdot (4, 6) = (4k, 6k) \]

Теперь сравним полученный вектор с вектором \( \mathbf{A}(-3, 5) \):

\[ (4k, 6k) = (-3, 5) \]

Решим систему уравнений:

\[ 4k = -3 \] \[ 6k = 5 \]

Решениями этой системы являются \( k = -\frac{3}{4} \) и \( k = \frac{5}{6} \), то есть эти два вектора коллинеарны.

Теперь рассмотрим остальные варианты:

б) Векторы \( \mathbf{A}(-3, 5) \) и \( \mathbf{Д}(6, -10) \). Повторим процедуру:

\[ k \cdot \mathbf{Д} = k \cdot (6, -10) = (6k, -10k) \]

Сравним с вектором \( \mathbf{A}(-3, 5) \):

\[ (6k, -10k) = (-3, 5) \]

Решим систему уравнений:

\[ 6k = -3 \] \[ -10k = 5 \]

Решений этой системы нет, поэтому векторы \( \mathbf{A} \) и \( \mathbf{Д} \) не коллинеарны.

в) Векторы \( \mathbf{Б}(4, 6) \) и \( \mathbf{С}(2, -3) \). Повторим процедуру:

\[ k \cdot \mathbf{С} = k \cdot (2, -3) = (2k, -3k) \]

Сравним с вектором \( \mathbf{Б}(4, 6) \):

\[ (2k, -3k) = (4, 6) \]

Решим систему уравнений:

\[ 2k = 4 \] \[ -3k = 6 \]

Решений этой системы нет, поэтому векторы \( \mathbf{Б} \) и \( \mathbf{С} \) не коллинеарны.

г) Векторы \( \mathbf{С}(2, -3) \) и \( \mathbf{Д}(6, -10) \). Повторим процедуру:

\[ k \cdot \mathbf{Д} = k \cdot (6, -10) = (6k, -10k) \]

Сравним с вектором \( \mathbf{С}(2, -3) \):

\[ (6k, -10k) = (2, -3) \]

Решим систему уравнений:

\[ 6k = 2 \] \[ -10k = -3 \]

Решений этой системы нет, поэтому векторы \( \mathbf{С} \) и \( \mathbf{Д} \) не коллинеарны.

Таким образом, коллинеарными являются векторы:

а) \( \mathbf{A} \) и \( \mathbf{Б} \).